Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36405 / 105001
↖ ↑ ↗
← S 72.849312°
W 80.010681°		 ← 90.05 m → S 72.849312°
W 80.007935°		 →
↑
90.09 m
↓
↑
90.09 m
↓
S 72.850122°
W 80.010681°		 ← 90.04 m →
8 112 m²		 S 72.850122°
W 80.007935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277751922607422 y=0.801097869873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277751922607422 × 217)
    floor (0.277751922607422 × 131072)
    floor (36405.5)     		tx = 36405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801097869873047 × 217)
    floor (0.801097869873047 × 131072)
    floor (105001.5)     		ty = 105001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36405 / 105001 ti = "17/36405/105001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36405/105001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36405 ÷ 217
    36405 ÷ 131072     		x = 0.277748107910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105001 ÷ 217
    105001 ÷ 131072     		y = 0.801094055175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277748107910156 × 2 - 1) × π
    -0.444503784179688 × 3.1415926535     		Λ = -1.39644982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801094055175781 × 2 - 1) × π
    -0.602188110351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.89182974350552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39644982} λ = -1.39644982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89182974350552))-π/2
    2×atan(0.150795638912399)-π/2
    2×0.149667987605604-π/2
    0.299335975211207-1.57079632675     		φ = -1.27146035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39644982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.010681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27146035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.849312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36405 KachelY 105001 -1.39644982 -1.27146035 -80.010681 -72.849312
    Oben rechts KachelX + 1 36406 KachelY 105001 -1.39640189 -1.27146035 -80.007935 -72.849312
    Unten links KachelX 36405 KachelY + 1 105002 -1.39644982 -1.27147449 -80.010681 -72.850122
    Unten rechts KachelX + 1 36406 KachelY + 1 105002 -1.39640189 -1.27147449 -80.007935 -72.850122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27146035--1.27147449) × R
    1.41399999999958e-05 × 6371000     		dl = 90.0859399999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27146035--1.27147449) × R
    1.41399999999958e-05 × 6371000     		dr = 90.0859399999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39644982--1.39640189) × cos(-1.27146035) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.294885775959107 × 6371000     		do = 90.0469191650532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39644982--1.39640189) × cos(-1.27147449) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.294872264699925 × 6371000     		du = 90.0427933395216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27146035)-sin(-1.27147449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294885775959107-0.294872264699925)×R²
    abs(-1.39640189--1.39644982)×1.35112591814757e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.35112591814757e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.35112591814757e-05×40589641000000     		ar = 8111.77551786561m²