Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36404 / 47793
↖ ↑ ↗
← S 63.354593°
E 19.973144°		 ← 273.95 m → S 63.354593°
E 19.978638°		 →
↑
273.95 m
↓
↑
273.95 m
↓
S 63.357056°
E 19.973144°		 ← 273.92 m →
75 045 m²		 S 63.357056°
E 19.978638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555488586425781 y=0.729270935058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555488586425781 × 216)
    floor (0.555488586425781 × 65536)
    floor (36404.5)     		tx = 36404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729270935058594 × 216)
    floor (0.729270935058594 × 65536)
    floor (47793.5)     		ty = 47793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36404 / 47793 ti = "16/36404/47793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36404/47793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36404 ÷ 216
    36404 ÷ 65536     		x = 0.55548095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47793 ÷ 216
    47793 ÷ 65536     		y = 0.729263305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55548095703125 × 2 - 1) × π
    0.1109619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.34859713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729263305664062 × 2 - 1) × π
    -0.458526611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44050383358269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34859713} λ = 0.34859713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44050383358269))-π/2
    2×atan(0.236808416587429)-π/2
    2×0.232525042253914-π/2
    0.465050084507828-1.57079632675     		φ = -1.10574624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34859713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.973144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10574624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.354593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36404 KachelY 47793 0.34859713 -1.10574624 19.973144 -63.354593
    Oben rechts KachelX + 1 36405 KachelY 47793 0.34869301 -1.10574624 19.978638 -63.354593
    Unten links KachelX 36404 KachelY + 1 47794 0.34859713 -1.10578924 19.973144 -63.357056
    Unten rechts KachelX + 1 36405 KachelY + 1 47794 0.34869301 -1.10578924 19.978638 -63.357056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10574624--1.10578924) × R
    4.30000000000152e-05 × 6371000     		dl = 273.953000000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10574624--1.10578924) × R
    4.30000000000152e-05 × 6371000     		dr = 273.953000000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34859713-0.34869301) × cos(-1.10574624) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.44846756954057 × 6371000     		do = 273.947078585998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34859713-0.34869301) × cos(-1.10578924) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.448429135764484 × 6371000     		du = 273.923601256993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10574624)-sin(-1.10578924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44846756954057-0.448429135764484)×R²
    abs(0.34869301-0.34859713)×3.84337760866993e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.84337760866993e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.84337760866993e-05×40589641000000     		ar = 75045.4081894076m²