Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36401 / 105327
↖ ↑ ↗
← S 73.111386°
W 80.021667°		 ← 88.73 m → S 73.111386°
W 80.018921°		 →
↑
88.68 m
↓
↑
88.68 m
↓
S 73.112184°
W 80.021667°		 ← 88.73 m →
7 869 m²		 S 73.112184°
W 80.018921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277721405029297 y=0.803585052490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277721405029297 × 217)
    floor (0.277721405029297 × 131072)
    floor (36401.5)     		tx = 36401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803585052490234 × 217)
    floor (0.803585052490234 × 131072)
    floor (105327.5)     		ty = 105327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36401 / 105327 ti = "17/36401/105327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36401/105327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36401 ÷ 217
    36401 ÷ 131072     		x = 0.277717590332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105327 ÷ 217
    105327 ÷ 131072     		y = 0.803581237792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277717590332031 × 2 - 1) × π
    -0.444564819335938 × 3.1415926535     		Λ = -1.39664157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803581237792969 × 2 - 1) × π
    -0.607162475585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.90745717278165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39664157} λ = -1.39664157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90745717278165))-π/2
    2×atan(0.148457408580733)-π/2
    2×0.147380960410451-π/2
    0.294761920820903-1.57079632675     		φ = -1.27603441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39664157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.021667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27603441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.111386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36401 KachelY 105327 -1.39664157 -1.27603441 -80.021667 -73.111386
    Oben rechts KachelX + 1 36402 KachelY 105327 -1.39659363 -1.27603441 -80.018921 -73.111386
    Unten links KachelX 36401 KachelY + 1 105328 -1.39664157 -1.27604833 -80.021667 -73.112184
    Unten rechts KachelX + 1 36402 KachelY + 1 105328 -1.39659363 -1.27604833 -80.018921 -73.112184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27603441--1.27604833) × R
    1.39200000000006e-05 × 6371000     		dl = 88.6843200000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27603441--1.27604833) × R
    1.39200000000006e-05 × 6371000     		dr = 88.6843200000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39664157--1.39659363) × cos(-1.27603441) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.290512043365009 × 6371000     		do = 88.7298558240227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39664157--1.39659363) × cos(-1.27604833) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.290498723687874 × 6371000     		du = 88.7257876517771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27603441)-sin(-1.27604833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290512043365009-0.290498723687874)×R²
    abs(-1.39659363--1.39664157)×1.33196771351929e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.33196771351929e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.33196771351929e-05×40589641000000     		ar = 7868.76653589678m²