Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36400 / 105168
↖ ↑ ↗
← S 72.984054°
W 80.024414°		 ← 89.38 m → S 72.984054°
W 80.021667°		 →
↑
89.39 m
↓
↑
89.39 m
↓
S 72.984858°
W 80.024414°		 ← 89.38 m →
7 989 m²		 S 72.984858°
W 80.021667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277713775634766 y=0.802371978759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277713775634766 × 217)
    floor (0.277713775634766 × 131072)
    floor (36400.5)     		tx = 36400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802371978759766 × 217)
    floor (0.802371978759766 × 131072)
    floor (105168.5)     		ty = 105168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36400 / 105168 ti = "17/36400/105168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36400/105168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36400 ÷ 217
    36400 ÷ 131072     		x = 0.2777099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105168 ÷ 217
    105168 ÷ 131072     		y = 0.8023681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2777099609375 × 2 - 1) × π
    -0.444580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39668951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8023681640625 × 2 - 1) × π
    -0.604736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.89983520574207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39668951} λ = -1.39668951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89983520574207))-π/2
    2×atan(0.14959326930329)-π/2
    2×0.148492143262171-π/2
    0.296984286524342-1.57079632675     		φ = -1.27381204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39668951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.024414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27381204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.984054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36400 KachelY 105168 -1.39668951 -1.27381204 -80.024414 -72.984054
    Oben rechts KachelX + 1 36401 KachelY 105168 -1.39664157 -1.27381204 -80.021667 -72.984054
    Unten links KachelX 36400 KachelY + 1 105169 -1.39668951 -1.27382607 -80.024414 -72.984858
    Unten rechts KachelX + 1 36401 KachelY + 1 105169 -1.39664157 -1.27382607 -80.021667 -72.984858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27381204--1.27382607) × R
    1.40299999999982e-05 × 6371000     		dl = 89.3851299999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27381204--1.27382607) × R
    1.40299999999982e-05 × 6371000     		dr = 89.3851299999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39668951--1.39664157) × cos(-1.27381204) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292637846355581 × 6371000     		do = 89.3791307751011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39668951--1.39664157) × cos(-1.27382607) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292624430513211 × 6371000     		du = 89.3750332315173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27381204)-sin(-1.27382607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292637846355581-0.292624430513211)×R²
    abs(-1.39664157--1.39668951)×1.34158423707453e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34158423707453e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34158423707453e-05×40589641000000     		ar = 7988.9820940064m²