Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3640 / 5359
↖ ↑ ↗
← S 48.429200°
W 20.039063°		 ← 3 242.41 m → S 48.429200°
W 19.995117°		 →
↑
3 241.50 m
↓
↑
3 241.50 m
↓
S 48.458352°
W 20.039063°		 ← 3 240.55 m →
10 507 255 m²		 S 48.458352°
W 19.995117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44439697265625 y=0.65423583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44439697265625 × 213)
    floor (0.44439697265625 × 8192)
    floor (3640.5)     		tx = 3640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65423583984375 × 213)
    floor (0.65423583984375 × 8192)
    floor (5359.5)     		ty = 5359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3640 / 5359 ti = "13/3640/5359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3640/5359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3640 ÷ 213
    3640 ÷ 8192     		x = 0.4443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5359 ÷ 213
    5359 ÷ 8192     		y = 0.6541748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    -0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6541748046875 × 2 - 1) × π
    -0.308349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.968708867522095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34974762} λ = -0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968708867522095))-π/2
    2×atan(0.379572800631833)-π/2
    2×0.362773661504966-π/2
    0.725547323009933-1.57079632675     		φ = -0.84524900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84524900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.429200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3640 KachelY 5359 -0.34974762 -0.84524900 -20.039063 -48.429200
    Oben rechts KachelX + 1 3641 KachelY 5359 -0.34898063 -0.84524900 -19.995117 -48.429200
    Unten links KachelX 3640 KachelY + 1 5360 -0.34974762 -0.84575779 -20.039063 -48.458352
    Unten rechts KachelX + 1 3641 KachelY + 1 5360 -0.34898063 -0.84575779 -19.995117 -48.458352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84524900--0.84575779) × R
    0.000508789999999926 × 6371000     		dl = 3241.50108999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84524900--0.84575779) × R
    0.000508789999999926 × 6371000     		dr = 3241.50108999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34974762--0.34898063) × cos(-0.84524900) × R
    0.000766989999999967 × 0.663545017105883 × 6371000     		do = 3242.40827370069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34974762--0.34898063) × cos(-0.84575779) × R
    0.000766989999999967 × 0.663164286939641 × 6371000     		du = 3240.54783829805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84524900)-sin(-0.84575779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663545017105883-0.663164286939641)×R²
    abs(-0.34898063--0.34974762)×0.00038073016624196×R²
    0.000766989999999967×0.00038073016624196×6371000²
    0.000766989999999967×0.00038073016624196×40589641000000     		ar = 10507254.8783977m²