Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3640 / 2471
↖ ↑ ↗
← N 57.914848°
W 20.039063°		 ← 2 595.60 m → N 57.914848°
W 19.995117°		 →
↑
2 596.44 m
↓
↑
2 596.44 m
↓
N 57.891497°
W 20.039063°		 ← 2 597.29 m →
6 741 510 m²		 N 57.891497°
W 19.995117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44439697265625 y=0.30169677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44439697265625 × 213)
    floor (0.44439697265625 × 8192)
    floor (3640.5)     		tx = 3640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30169677734375 × 213)
    floor (0.30169677734375 × 8192)
    floor (2471.5)     		ty = 2471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3640 / 2471 ti = "13/3640/2471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3640/2471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3640 ÷ 213
    3640 ÷ 8192     		x = 0.4443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2471 ÷ 213
    2471 ÷ 8192     		y = 0.3016357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    -0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3016357421875 × 2 - 1) × π
    0.396728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24635939012146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34974762} λ = -0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24635939012146))-π/2
    2×atan(3.47765908294023)-π/2
    2×1.29080055305079-π/2
    2.58160110610157-1.57079632675     		φ = 1.01080478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01080478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.914848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3640 KachelY 2471 -0.34974762 1.01080478 -20.039063 57.914848
    Oben rechts KachelX + 1 3641 KachelY 2471 -0.34898063 1.01080478 -19.995117 57.914848
    Unten links KachelX 3640 KachelY + 1 2472 -0.34974762 1.01039724 -20.039063 57.891497
    Unten rechts KachelX + 1 3641 KachelY + 1 2472 -0.34898063 1.01039724 -19.995117 57.891497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01080478-1.01039724) × R
    0.000407539999999873 × 6371000     		dl = 2596.43733999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01080478-1.01039724) × R
    0.000407539999999873 × 6371000     		dr = 2596.43733999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34974762--0.34898063) × cos(1.01080478) × R
    0.000766989999999967 × 0.531179035880677 × 6371000     		do = 2595.60279461949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34974762--0.34898063) × cos(1.01039724) × R
    0.000766989999999967 × 0.531524283937538 × 6371000     		du = 2597.28984693272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01080478)-sin(1.01039724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531179035880677-0.531524283937538)×R²
    abs(-0.34898063--0.34974762)×0.000345248056860981×R²
    0.000766989999999967×0.000345248056860981×6371000²
    0.000766989999999967×0.000345248056860981×40589641000000     		ar = 6741510.27187222m²