Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36399 / 69133
↖ ↑ ↗
← S  9.830861°
W 80.027160°		 ← 300.88 m → S  9.830861°
W 80.024414°		 →
↑
300.90 m
↓
↑
300.90 m
↓
S  9.833567°
W 80.027160°		 ← 300.88 m →
90 535 m²		 S  9.833567°
W 80.024414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277706146240234 y=0.527446746826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277706146240234 × 217)
    floor (0.277706146240234 × 131072)
    floor (36399.5)     		tx = 36399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527446746826172 × 217)
    floor (0.527446746826172 × 131072)
    floor (69133.5)     		ty = 69133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36399 / 69133 ti = "17/36399/69133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36399/69133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36399 ÷ 217
    36399 ÷ 131072     		x = 0.277702331542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69133 ÷ 217
    69133 ÷ 131072     		y = 0.527442932128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277702331542969 × 2 - 1) × π
    -0.444595336914062 × 3.1415926535     		Λ = -1.39673744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527442932128906 × 2 - 1) × π
    -0.0548858642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.172429027933342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39673744} λ = -1.39673744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.172429027933342))-π/2
    2×atan(0.841618018062273)-π/2
    2×0.699607719456805-π/2
    1.39921543891361-1.57079632675     		φ = -0.17158089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39673744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.027160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17158089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.830861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36399 KachelY 69133 -1.39673744 -0.17158089 -80.027160 -9.830861
    Oben rechts KachelX + 1 36400 KachelY 69133 -1.39668951 -0.17158089 -80.024414 -9.830861
    Unten links KachelX 36399 KachelY + 1 69134 -1.39673744 -0.17162812 -80.027160 -9.833567
    Unten rechts KachelX + 1 36400 KachelY + 1 69134 -1.39668951 -0.17162812 -80.024414 -9.833567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17158089--0.17162812) × R
    4.72299999999815e-05 × 6371000     		dl = 300.902329999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17158089--0.17162812) × R
    4.72299999999815e-05 × 6371000     		dr = 300.902329999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39673744--1.39668951) × cos(-0.17158089) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.985316076744181 × 6371000     		do = 300.878117386423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39673744--1.39668951) × cos(-0.17162812) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.985308011583779 × 6371000     		du = 300.875654592671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17158089)-sin(-0.17162812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985316076744181-0.985308011583779)×R²
    abs(-1.39668951--1.39673744)×8.06516040174898e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.06516040174898e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.06516040174898e-06×40589641000000     		ar = 90534.5560541521m²