Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36398 / 105326
↖ ↑ ↗
← S 73.110588°
W 80.029907°		 ← 88.73 m → S 73.110588°
W 80.027160°		 →
↑
88.75 m
↓
↑
88.75 m
↓
S 73.111386°
W 80.029907°		 ← 88.73 m →
7 875 m²		 S 73.111386°
W 80.027160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277698516845703 y=0.803577423095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277698516845703 × 217)
    floor (0.277698516845703 × 131072)
    floor (36398.5)     		tx = 36398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803577423095703 × 217)
    floor (0.803577423095703 × 131072)
    floor (105326.5)     		ty = 105326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36398 / 105326 ti = "17/36398/105326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36398/105326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36398 ÷ 217
    36398 ÷ 131072     		x = 0.277694702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105326 ÷ 217
    105326 ÷ 131072     		y = 0.803573608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277694702148438 × 2 - 1) × π
    -0.444610595703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39678538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803573608398438 × 2 - 1) × π
    -0.607147216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90740923588203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39678538} λ = -1.39678538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90740923588203))-π/2
    2×atan(0.148464525339202)-π/2
    2×0.147387923693574-π/2
    0.294775847387148-1.57079632675     		φ = -1.27602048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39678538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.029907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27602048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.110588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36398 KachelY 105326 -1.39678538 -1.27602048 -80.029907 -73.110588
    Oben rechts KachelX + 1 36399 KachelY 105326 -1.39673744 -1.27602048 -80.027160 -73.110588
    Unten links KachelX 36398 KachelY + 1 105327 -1.39678538 -1.27603441 -80.029907 -73.111386
    Unten rechts KachelX + 1 36399 KachelY + 1 105327 -1.39673744 -1.27603441 -80.027160 -73.111386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27602048--1.27603441) × R
    1.39300000001619e-05 × 6371000     		dl = 88.7480300010313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27602048--1.27603441) × R
    1.39300000001619e-05 × 6371000     		dr = 88.7480300010313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39678538--1.39673744) × cos(-1.27602048) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290525372554525 × 6371000     		do = 88.7339269011835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39678538--1.39673744) × cos(-1.27603441) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290512043365009 × 6371000     		du = 88.7298558236117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27602048)-sin(-1.27603441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290525372554525-0.290512043365009)×R²
    abs(-1.39673744--1.39678538)×1.3329189516742e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3329189516742e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3329189516742e-05×40589641000000     		ar = 7874.78055696664m²