Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36396 / 105167
↖ ↑ ↗
← S 72.983250°
W 80.035400°		 ← 89.36 m → S 72.983250°
W 80.032654°		 →
↑
89.39 m
↓
↑
89.39 m
↓
S 72.984054°
W 80.035400°		 ← 89.36 m →
7 988 m²		 S 72.984054°
W 80.032654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277683258056641 y=0.802364349365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277683258056641 × 217)
    floor (0.277683258056641 × 131072)
    floor (36396.5)     		tx = 36396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802364349365234 × 217)
    floor (0.802364349365234 × 131072)
    floor (105167.5)     		ty = 105167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36396 / 105167 ti = "17/36396/105167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36396/105167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36396 ÷ 217
    36396 ÷ 131072     		x = 0.277679443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105167 ÷ 217
    105167 ÷ 131072     		y = 0.802360534667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.44464111328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39688125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802360534667969 × 2 - 1) × π
    -0.604721069335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.89978726884245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39688125} λ = -1.39688125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89978726884245))-π/2
    2×atan(0.149600440512706)-π/2
    2×0.148499157498457-π/2
    0.296998314996914-1.57079632675     		φ = -1.27379801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39688125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.035400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27379801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.983250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36396 KachelY 105167 -1.39688125 -1.27379801 -80.035400 -72.983250
    Oben rechts KachelX + 1 36397 KachelY 105167 -1.39683332 -1.27379801 -80.032654 -72.983250
    Unten links KachelX 36396 KachelY + 1 105168 -1.39688125 -1.27381204 -80.035400 -72.984054
    Unten rechts KachelX + 1 36397 KachelY + 1 105168 -1.39683332 -1.27381204 -80.032654 -72.984054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27379801--1.27381204) × R
    1.40299999999982e-05 × 6371000     		dl = 89.3851299999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27379801--1.27381204) × R
    1.40299999999982e-05 × 6371000     		dr = 89.3851299999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39688125--1.39683332) × cos(-1.27379801) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.292651262140349 × 6371000     		do = 89.3645834892938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39688125--1.39683332) × cos(-1.27381204) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.292637846355581 × 6371000     		du = 89.3604868180231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27379801)-sin(-1.27381204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292651262140349-0.292637846355581)×R²
    abs(-1.39683332--1.39688125)×1.34157847676564e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34157847676564e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34157847676564e-05×40589641000000     		ar = 7987.68182199145m²