Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36395 / 104871
↖ ↑ ↗
← S 72.743707°
W 80.038147°		 ← 90.60 m → S 72.743707°
W 80.035400°		 →
↑
90.60 m
↓
↑
90.60 m
↓
S 72.744522°
W 80.038147°		 ← 90.60 m →
8 208 m²		 S 72.744522°
W 80.035400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277675628662109 y=0.800106048583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277675628662109 × 217)
    floor (0.277675628662109 × 131072)
    floor (36395.5)     		tx = 36395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800106048583984 × 217)
    floor (0.800106048583984 × 131072)
    floor (104871.5)     		ty = 104871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36395 / 104871 ti = "17/36395/104871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36395/104871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36395 ÷ 217
    36395 ÷ 131072     		x = 0.277671813964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104871 ÷ 217
    104871 ÷ 131072     		y = 0.800102233886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277671813964844 × 2 - 1) × π
    -0.444656372070312 × 3.1415926535     		Λ = -1.39692919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800102233886719 × 2 - 1) × π
    -0.600204467773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.88559794655491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39692919} λ = -1.39692919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88559794655491))-π/2
    2×atan(0.151738300903488)-π/2
    2×0.150589562341438-π/2
    0.301179124682876-1.57079632675     		φ = -1.26961720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39692919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.038147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26961720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.743707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36395 KachelY 104871 -1.39692919 -1.26961720 -80.038147 -72.743707
    Oben rechts KachelX + 1 36396 KachelY 104871 -1.39688125 -1.26961720 -80.035400 -72.743707
    Unten links KachelX 36395 KachelY + 1 104872 -1.39692919 -1.26963142 -80.038147 -72.744522
    Unten rechts KachelX + 1 36396 KachelY + 1 104872 -1.39688125 -1.26963142 -80.035400 -72.744522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26961720--1.26963142) × R
    1.42200000001758e-05 × 6371000     		dl = 90.5956200011198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26961720--1.26963142) × R
    1.42200000001758e-05 × 6371000     		dr = 90.5956200011198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39692919--1.39688125) × cos(-1.26961720) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296646463816024 × 6371000     		do = 90.6034657293331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39692919--1.39688125) × cos(-1.26963142) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296632883865641 × 6371000     		du = 90.5993180629381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26961720)-sin(-1.26963142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296646463816024-0.296632883865641)×R²
    abs(-1.39688125--1.39692919)×1.35799503832024e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35799503832024e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35799503832024e-05×40589641000000     		ar = 8208.08927194123m²