Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36393 / 39175
↖ ↑ ↗
← S 33.169744°
E 19.912720°		 ← 511.32 m → S 33.169744°
E 19.918213°		 →
↑
511.27 m
↓
↑
511.27 m
↓
S 33.174342°
E 19.912720°		 ← 511.29 m →
261 415 m²		 S 33.174342°
E 19.918213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555320739746094 y=0.597770690917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555320739746094 × 216)
    floor (0.555320739746094 × 65536)
    floor (36393.5)     		tx = 36393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597770690917969 × 216)
    floor (0.597770690917969 × 65536)
    floor (39175.5)     		ty = 39175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36393 / 39175 ti = "16/36393/39175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36393/39175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36393 ÷ 216
    36393 ÷ 65536     		x = 0.555313110351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39175 ÷ 216
    39175 ÷ 65536     		y = 0.597763061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555313110351562 × 2 - 1) × π
    0.110626220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.34754252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597763061523438 × 2 - 1) × π
    -0.195526123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.6142634317314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34754252} λ = 0.34754252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.6142634317314))-π/2
    2×atan(0.541039260931237)-π/2
    2×0.495937544471751-π/2
    0.991875088943503-1.57079632675     		φ = -0.57892124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34754252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.912720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57892124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.169744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36393 KachelY 39175 0.34754252 -0.57892124 19.912720 -33.169744
    Oben rechts KachelX + 1 36394 KachelY 39175 0.34763840 -0.57892124 19.918213 -33.169744
    Unten links KachelX 36393 KachelY + 1 39176 0.34754252 -0.57900149 19.912720 -33.174342
    Unten rechts KachelX + 1 36394 KachelY + 1 39176 0.34763840 -0.57900149 19.918213 -33.174342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57892124--0.57900149) × R
    8.02500000000039e-05 × 6371000     		dl = 511.272750000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57892124--0.57900149) × R
    8.02500000000039e-05 × 6371000     		dr = 511.272750000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34754252-0.34763840) × cos(-0.57892124) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.837053349397155 × 6371000     		do = 511.31527731817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34754252-0.34763840) × cos(-0.57900149) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.837009440219494 × 6371000     		du = 511.28845533201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57892124)-sin(-0.57900149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837053349397155-0.837009440219494)×R²
    abs(0.34763840-0.34754252)×4.39091776612832e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.39091776612832e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.39091776612832e-05×40589641000000     		ar = 261414.711416209m²