Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36393 / 104869
↖ ↑ ↗
← S 72.742078°
W 80.043640°		 ← 90.61 m → S 72.742078°
W 80.040894°		 →
↑
90.60 m
↓
↑
90.60 m
↓
S 72.742892°
W 80.043640°		 ← 90.61 m →
8 209 m²		 S 72.742892°
W 80.040894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277660369873047 y=0.800090789794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277660369873047 × 217)
    floor (0.277660369873047 × 131072)
    floor (36393.5)     		tx = 36393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800090789794922 × 217)
    floor (0.800090789794922 × 131072)
    floor (104869.5)     		ty = 104869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36393 / 104869 ti = "17/36393/104869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36393/104869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36393 ÷ 217
    36393 ÷ 131072     		x = 0.277656555175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104869 ÷ 217
    104869 ÷ 131072     		y = 0.800086975097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277656555175781 × 2 - 1) × π
    -0.444686889648438 × 3.1415926535     		Λ = -1.39702507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800086975097656 × 2 - 1) × π
    -0.600173950195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.88550207275567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39702507} λ = -1.39702507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88550207275567))-π/2
    2×atan(0.151752849328281)-π/2
    2×0.150603783304112-π/2
    0.301207566608223-1.57079632675     		φ = -1.26958876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39702507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.043640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26958876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.742078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36393 KachelY 104869 -1.39702507 -1.26958876 -80.043640 -72.742078
    Oben rechts KachelX + 1 36394 KachelY 104869 -1.39697713 -1.26958876 -80.040894 -72.742078
    Unten links KachelX 36393 KachelY + 1 104870 -1.39702507 -1.26960298 -80.043640 -72.742892
    Unten rechts KachelX + 1 36394 KachelY + 1 104870 -1.39697713 -1.26960298 -80.040894 -72.742892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26958876--1.26960298) × R
    1.42199999999537e-05 × 6371000     		dl = 90.5956199997051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26958876--1.26960298) × R
    1.42199999999537e-05 × 6371000     		dr = 90.5956199997051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39702507--1.39697713) × cos(-1.26958876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296673623536834 × 6371000     		do = 90.6117610071597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39702507--1.39697713) × cos(-1.26960298) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296660043706423 × 6371000     		du = 90.6076133774072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26958876)-sin(-1.26960298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296673623536834-0.296660043706423)×R²
    abs(-1.39697713--1.39702507)×1.35798304114476e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35798304114476e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35798304114476e-05×40589641000000     		ar = 8208.84078918274m²