Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3639 / 5397
↖ ↑ ↗
← S 49.525208°
W 20.083008°		 ← 3 171.89 m → S 49.525208°
W 20.039063°		 →
↑
3 170.97 m
↓
↑
3 170.97 m
↓
S 49.553726°
W 20.083008°		 ← 3 170.04 m →
10 055 042 m²		 S 49.553726°
W 20.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44427490234375 y=0.65887451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44427490234375 × 213)
    floor (0.44427490234375 × 8192)
    floor (3639.5)     		tx = 3639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65887451171875 × 213)
    floor (0.65887451171875 × 8192)
    floor (5397.5)     		ty = 5397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3639 / 5397 ti = "13/3639/5397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3639/5397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3639 ÷ 213
    3639 ÷ 8192     		x = 0.4442138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5397 ÷ 213
    5397 ÷ 8192     		y = 0.6588134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4442138671875 × 2 - 1) × π
    -0.111572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35051461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6588134765625 × 2 - 1) × π
    -0.317626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.997854502491089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35051461} λ = -0.35051461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.997854502491089))-π/2
    2×atan(0.368669572905797)-π/2
    2×0.353209189254897-π/2
    0.706418378509794-1.57079632675     		φ = -0.86437795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35051461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.083008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86437795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.525208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3639 KachelY 5397 -0.35051461 -0.86437795 -20.083008 -49.525208
    Oben rechts KachelX + 1 3640 KachelY 5397 -0.34974762 -0.86437795 -20.039063 -49.525208
    Unten links KachelX 3639 KachelY + 1 5398 -0.35051461 -0.86487567 -20.083008 -49.553726
    Unten rechts KachelX + 1 3640 KachelY + 1 5398 -0.34974762 -0.86487567 -20.039063 -49.553726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86437795--0.86487567) × R
    0.000497720000000035 × 6371000     		dl = 3170.97412000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86437795--0.86487567) × R
    0.000497720000000035 × 6371000     		dr = 3170.97412000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35051461--0.34974762) × cos(-0.86437795) × R
    0.000766990000000023 × 0.64911342947038 × 6371000     		do = 3171.88841755599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35051461--0.34974762) × cos(-0.86487567) × R
    0.000766990000000023 × 0.648734737647142 × 6371000     		du = 3170.03794250276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86437795)-sin(-0.86487567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64911342947038-0.648734737647142)×R²
    abs(-0.34974762--0.35051461)×0.000378691823237909×R²
    0.000766990000000023×0.000378691823237909×6371000²
    0.000766990000000023×0.000378691823237909×40589641000000     		ar = 10055042.386922m²