Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3639 / 4023
↖ ↑ ↗
← N 79.320978°
W140.020752°		 ← 226.37 m → N 79.320978°
W140.009766°		 →
↑
226.43 m
↓
↑
226.43 m
↓
N 79.318942°
W140.020752°		 ← 226.41 m →
51 260 m²		 N 79.318942°
W140.009766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.111068725585938 y=0.122787475585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.111068725585938 × 215)
    floor (0.111068725585938 × 32768)
    floor (3639.5)     		tx = 3639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122787475585938 × 215)
    floor (0.122787475585938 × 32768)
    floor (4023.5)     		ty = 4023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3639 / 4023 ti = "15/3639/4023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3639/4023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3639 ÷ 215
    3639 ÷ 32768     		x = 0.111053466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4023 ÷ 215
    4023 ÷ 32768     		y = 0.122772216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.111053466796875 × 2 - 1) × π
    -0.77789306640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.44382314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122772216796875 × 2 - 1) × π
    0.75445556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37019206481406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.44382314} λ = -2.44382314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37019206481406))-π/2
    2×atan(10.6994470740911)-π/2
    2×1.47760427712892-π/2
    2.95520855425784-1.57079632675     		φ = 1.38441223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.44382314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.020752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38441223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.320978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3639 KachelY 4023 -2.44382314 1.38441223 -140.020752 79.320978
    Oben rechts KachelX + 1 3640 KachelY 4023 -2.44363140 1.38441223 -140.009766 79.320978
    Unten links KachelX 3639 KachelY + 1 4024 -2.44382314 1.38437669 -140.020752 79.318942
    Unten rechts KachelX + 1 3640 KachelY + 1 4024 -2.44363140 1.38437669 -140.009766 79.318942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38441223-1.38437669) × R
    3.5539999999834e-05 × 6371000     		dl = 226.425339998943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38441223-1.38437669) × R
    3.5539999999834e-05 × 6371000     		dr = 226.425339998943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.44382314--2.44363140) × cos(1.38441223) × R
    0.000191739999999996 × 0.185306835812382 × 6371000     		do = 226.366298023197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.44382314--2.44363140) × cos(1.38437669) × R
    0.000191739999999996 × 0.185341760167756 × 6371000     		du = 226.408960761473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38441223)-sin(1.38437669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185306835812382-0.185341760167756)×R²
    abs(-2.44363140--2.44382314)×3.49243553743606e-05×R²
    0.000191739999999996×3.49243553743606e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.49243553743606e-05×40589641000000     		ar = 51259.8959625916m²