Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3639 / 2408
↖ ↑ ↗
← N 59.355596°
W 20.083008°		 ← 2 490.69 m → N 59.355596°
W 20.039063°		 →
↑
2 491.51 m
↓
↑
2 491.51 m
↓
N 59.333189°
W 20.083008°		 ← 2 492.33 m →
6 207 610 m²		 N 59.333189°
W 20.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44427490234375 y=0.29400634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44427490234375 × 213)
    floor (0.44427490234375 × 8192)
    floor (3639.5)     		tx = 3639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29400634765625 × 213)
    floor (0.29400634765625 × 8192)
    floor (2408.5)     		ty = 2408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3639 / 2408 ti = "13/3639/2408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3639/2408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3639 ÷ 213
    3639 ÷ 8192     		x = 0.4442138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2408 ÷ 213
    2408 ÷ 8192     		y = 0.2939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4442138671875 × 2 - 1) × π
    -0.111572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35051461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2939453125 × 2 - 1) × π
    0.412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29467978493848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35051461} λ = -0.35051461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29467978493848))-π/2
    2×atan(3.64982705740315)-π/2
    2×1.30337345418988-π/2
    2.60674690837976-1.57079632675     		φ = 1.03595058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35051461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.083008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03595058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.355596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3639 KachelY 2408 -0.35051461 1.03595058 -20.083008 59.355596
    Oben rechts KachelX + 1 3640 KachelY 2408 -0.34974762 1.03595058 -20.039063 59.355596
    Unten links KachelX 3639 KachelY + 1 2409 -0.35051461 1.03555951 -20.083008 59.333189
    Unten rechts KachelX + 1 3640 KachelY + 1 2409 -0.34974762 1.03555951 -20.039063 59.333189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03595058-1.03555951) × R
    0.000391070000000049 × 6371000     		dl = 2491.50697000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03595058-1.03555951) × R
    0.000391070000000049 × 6371000     		dr = 2491.50697000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35051461--0.34974762) × cos(1.03595058) × R
    0.000766990000000023 × 0.509708334170315 × 6371000     		do = 2490.6863547804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35051461--0.34974762) × cos(1.03555951) × R
    0.000766990000000023 × 0.510044751189825 × 6371000     		du = 2492.33025428887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03595058)-sin(1.03555951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.509708334170315-0.510044751189825)×R²
    abs(-0.34974762--0.35051461)×0.000336417019509816×R²
    0.000766990000000023×0.000336417019509816×6371000²
    0.000766990000000023×0.000336417019509816×40589641000000     		ar = 6207610.38567609m²