Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36387 / 104875
↖ ↑ ↗
← S 72.746966°
W 80.060120°		 ← 90.59 m → S 72.746966°
W 80.057373°		 →
↑
90.60 m
↓
↑
90.60 m
↓
S 72.747781°
W 80.060120°		 ← 90.58 m →
8 207 m²		 S 72.747781°
W 80.057373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277614593505859 y=0.800136566162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277614593505859 × 217)
    floor (0.277614593505859 × 131072)
    floor (36387.5)     		tx = 36387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800136566162109 × 217)
    floor (0.800136566162109 × 131072)
    floor (104875.5)     		ty = 104875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36387 / 104875 ti = "17/36387/104875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36387/104875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36387 ÷ 217
    36387 ÷ 131072     		x = 0.277610778808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104875 ÷ 217
    104875 ÷ 131072     		y = 0.800132751464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277610778808594 × 2 - 1) × π
    -0.444778442382812 × 3.1415926535     		Λ = -1.39731269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800132751464844 × 2 - 1) × π
    -0.600265502929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.88578969415339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39731269} λ = -1.39731269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88578969415339))-π/2
    2×atan(0.151709208238006)-π/2
    2×0.150561124321945-π/2
    0.30112224864389-1.57079632675     		φ = -1.26967408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39731269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.060120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26967408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.746966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36387 KachelY 104875 -1.39731269 -1.26967408 -80.060120 -72.746966
    Oben rechts KachelX + 1 36388 KachelY 104875 -1.39726475 -1.26967408 -80.057373 -72.746966
    Unten links KachelX 36387 KachelY + 1 104876 -1.39731269 -1.26968830 -80.060120 -72.747781
    Unten rechts KachelX + 1 36388 KachelY + 1 104876 -1.39726475 -1.26968830 -80.057373 -72.747781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26967408--1.26968830) × R
    1.42200000001758e-05 × 6371000     		dl = 90.5956200011198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26967408--1.26968830) × R
    1.42200000001758e-05 × 6371000     		dr = 90.5956200011198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39731269--1.39726475) × cos(-1.26967408) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296592143654613 × 6371000     		do = 90.5868749538371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39731269--1.39726475) × cos(-1.26968830) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29657856346432 × 6371000     		du = 90.5827272141674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26967408)-sin(-1.26968830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296592143654613-0.29657856346432)×R²
    abs(-1.39726475--1.39731269)×1.35801902934052e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35801902934052e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35801902934052e-05×40589641000000     		ar = 8206.58621693494m²