Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36386 / 27814
↖ ↑ ↗
← N 26.244156°
E 19.874268°		 ← 547.83 m → N 26.244156°
E 19.879761°		 →
↑
547.91 m
↓
↑
547.91 m
↓
N 26.239229°
E 19.874268°		 ← 547.85 m →
300 164 m²		 N 26.239229°
E 19.879761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555213928222656 y=0.424415588378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555213928222656 × 216)
    floor (0.555213928222656 × 65536)
    floor (36386.5)     		tx = 36386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424415588378906 × 216)
    floor (0.424415588378906 × 65536)
    floor (27814.5)     		ty = 27814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36386 / 27814 ti = "16/36386/27814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36386/27814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36386 ÷ 216
    36386 ÷ 65536     		x = 0.555206298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27814 ÷ 216
    27814 ÷ 65536     		y = 0.424407958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555206298828125 × 2 - 1) × π
    0.11041259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.34687141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424407958984375 × 2 - 1) × π
    0.15118408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.474958801435516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34687141} λ = 0.34687141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474958801435516))-π/2
    2×atan(1.60794795097382)-π/2
    2×1.01442163167229-π/2
    2.02884326334457-1.57079632675     		φ = 0.45804694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34687141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.874268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45804694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.244156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36386 KachelY 27814 0.34687141 0.45804694 19.874268 26.244156
    Oben rechts KachelX + 1 36387 KachelY 27814 0.34696728 0.45804694 19.879761 26.244156
    Unten links KachelX 36386 KachelY + 1 27815 0.34687141 0.45796094 19.874268 26.239229
    Unten rechts KachelX + 1 36387 KachelY + 1 27815 0.34696728 0.45796094 19.879761 26.239229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45804694-0.45796094) × R
    8.60000000000305e-05 × 6371000     		dl = 547.906000000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45804694-0.45796094) × R
    8.60000000000305e-05 × 6371000     		dr = 547.906000000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34687141-0.34696728) × cos(0.45804694) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896917845293884 × 6371000     		do = 547.826450600244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34687141-0.34696728) × cos(0.45796094) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896955870937704 × 6371000     		du = 547.849676198436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45804694)-sin(0.45796094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896917845293884-0.896955870937704)×R²
    abs(0.34696728-0.34687141)×3.80256438198279e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.80256438198279e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.80256438198279e-05×40589641000000     		ar = 300163.762150024m²