Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36384 / 102560
↖ ↑ ↗
← S 70.757966°
W 80.068360°		 ← 100.66 m → S 70.757966°
W 80.065613°		 →
↑
100.66 m
↓
↑
100.66 m
↓
S 70.758871°
W 80.068360°		 ← 100.65 m →
10 132 m²		 S 70.758871°
W 80.065613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277591705322266 y=0.782474517822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277591705322266 × 217)
    floor (0.277591705322266 × 131072)
    floor (36384.5)     		tx = 36384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782474517822266 × 217)
    floor (0.782474517822266 × 131072)
    floor (102560.5)     		ty = 102560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36384 / 102560 ti = "17/36384/102560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36384/102560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36384 ÷ 217
    36384 ÷ 131072     		x = 0.277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102560 ÷ 217
    102560 ÷ 131072     		y = 0.782470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277587890625 × 2 - 1) × π
    -0.44482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39745650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782470703125 × 2 - 1) × π
    -0.56494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77481577153296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39745650} λ = -1.39745650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77481577153296))-π/2
    2×atan(0.169514676051882)-π/2
    2×0.167918427307679-π/2
    0.335836854615358-1.57079632675     		φ = -1.23495947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39745650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.068360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23495947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.757966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36384 KachelY 102560 -1.39745650 -1.23495947 -80.068360 -70.757966
    Oben rechts KachelX + 1 36385 KachelY 102560 -1.39740856 -1.23495947 -80.065613 -70.757966
    Unten links KachelX 36384 KachelY + 1 102561 -1.39745650 -1.23497527 -80.068360 -70.758871
    Unten rechts KachelX + 1 36385 KachelY + 1 102561 -1.39740856 -1.23497527 -80.065613 -70.758871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23495947--1.23497527) × R
    1.58000000001213e-05 × 6371000     		dl = 100.661800000773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23495947--1.23497527) × R
    1.58000000001213e-05 × 6371000     		dr = 100.661800000773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39745650--1.39740856) × cos(-1.23495947) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.329559390843107 × 6371000     		do = 100.655920822605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39745650--1.39740856) × cos(-1.23497527) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.329544473471401 × 6371000     		du = 100.651364673313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23495947)-sin(-1.23497527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329559390843107-0.329544473471401)×R²
    abs(-1.39740856--1.39745650)×1.49173717058915e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.49173717058915e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.49173717058915e-05×40589641000000     		ar = 10131.9768557698m²