Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36383 / 104984
↖ ↑ ↗
← S 72.835538°
W 80.071106°		 ← 90.12 m → S 72.835538°
W 80.068360°		 →
↑
90.09 m
↓
↑
90.09 m
↓
S 72.836348°
W 80.071106°		 ← 90.11 m →
8 118 m²		 S 72.836348°
W 80.068360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277584075927734 y=0.800968170166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277584075927734 × 217)
    floor (0.277584075927734 × 131072)
    floor (36383.5)     		tx = 36383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800968170166016 × 217)
    floor (0.800968170166016 × 131072)
    floor (104984.5)     		ty = 104984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36383 / 104984 ti = "17/36383/104984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36383/104984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36383 ÷ 217
    36383 ÷ 131072     		x = 0.277580261230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104984 ÷ 217
    104984 ÷ 131072     		y = 0.80096435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277580261230469 × 2 - 1) × π
    -0.444839477539062 × 3.1415926535     		Λ = -1.39750443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80096435546875 × 2 - 1) × π
    -0.6019287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.89101481621198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39750443} λ = -1.39750443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89101481621198))-π/2
    2×atan(0.150918576480082)-π/2
    2×0.149788189631438-π/2
    0.299576379262876-1.57079632675     		φ = -1.27121995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39750443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.071106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27121995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.835538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36383 KachelY 104984 -1.39750443 -1.27121995 -80.071106 -72.835538
    Oben rechts KachelX + 1 36384 KachelY 104984 -1.39745650 -1.27121995 -80.068360 -72.835538
    Unten links KachelX 36383 KachelY + 1 104985 -1.39750443 -1.27123409 -80.071106 -72.836348
    Unten rechts KachelX + 1 36384 KachelY + 1 104985 -1.39745650 -1.27123409 -80.068360 -72.836348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27121995--1.27123409) × R
    1.41399999999958e-05 × 6371000     		dl = 90.0859399999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27121995--1.27123409) × R
    1.41399999999958e-05 × 6371000     		dr = 90.0859399999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39750443--1.39745650) × cos(-1.27121995) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.29511547745144 × 6371000     		do = 90.1170612786286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39750443--1.39745650) × cos(-1.27123409) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.295101967195018 × 6371000     		du = 90.1129357593019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27121995)-sin(-1.27123409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29511547745144-0.295101967195018)×R²
    abs(-1.39745650--1.39750443)×1.35102564218226e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.35102564218226e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.35102564218226e-05×40589641000000     		ar = 8118.09434993623m²