Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36383 / 102558
↖ ↑ ↗
← S 70.756155°
W 80.071106°		 ← 100.64 m → S 70.756155°
W 80.068360°		 →
↑
100.66 m
↓
↑
100.66 m
↓
S 70.757060°
W 80.071106°		 ← 100.64 m →
10 131 m²		 S 70.757060°
W 80.068360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277584075927734 y=0.782459259033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277584075927734 × 217)
    floor (0.277584075927734 × 131072)
    floor (36383.5)     		tx = 36383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782459259033203 × 217)
    floor (0.782459259033203 × 131072)
    floor (102558.5)     		ty = 102558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36383 / 102558 ti = "17/36383/102558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36383/102558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36383 ÷ 217
    36383 ÷ 131072     		x = 0.277580261230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102558 ÷ 217
    102558 ÷ 131072     		y = 0.782455444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277580261230469 × 2 - 1) × π
    -0.444839477539062 × 3.1415926535     		Λ = -1.39750443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782455444335938 × 2 - 1) × π
    -0.564910888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77471989773372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39750443} λ = -1.39750443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77471989773372))-π/2
    2×atan(0.169530928846998)-π/2
    2×0.16793422607804-π/2
    0.335868452156079-1.57079632675     		φ = -1.23492787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39750443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.071106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23492787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.756155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36383 KachelY 102558 -1.39750443 -1.23492787 -80.071106 -70.756155
    Oben rechts KachelX + 1 36384 KachelY 102558 -1.39745650 -1.23492787 -80.068360 -70.756155
    Unten links KachelX 36383 KachelY + 1 102559 -1.39750443 -1.23494367 -80.071106 -70.757060
    Unten rechts KachelX + 1 36384 KachelY + 1 102559 -1.39745650 -1.23494367 -80.068360 -70.757060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23492787--1.23494367) × R
    1.58000000001213e-05 × 6371000     		dl = 100.661800000773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23492787--1.23494367) × R
    1.58000000001213e-05 × 6371000     		dr = 100.661800000773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39750443--1.39745650) × cos(-1.23492787) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.329589225339701 × 6371000     		do = 100.644034915454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39750443--1.39745650) × cos(-1.23494367) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.329574308132541 × 6371000     		du = 100.639479766794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23492787)-sin(-1.23494367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329589225339701-0.329574308132541)×R²
    abs(-1.39745650--1.39750443)×1.4917207159737e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.4917207159737e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.4917207159737e-05×40589641000000     		ar = 10130.7804493789m²