Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36381 / 104933
↖ ↑ ↗
← S 72.794151°
W 80.076599°		 ← 90.35 m → S 72.794151°
W 80.073852°		 →
↑
90.34 m
↓
↑
90.34 m
↓
S 72.794963°
W 80.076599°		 ← 90.34 m →
8 162 m²		 S 72.794963°
W 80.073852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277568817138672 y=0.800579071044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277568817138672 × 217)
    floor (0.277568817138672 × 131072)
    floor (36381.5)     		tx = 36381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800579071044922 × 217)
    floor (0.800579071044922 × 131072)
    floor (104933.5)     		ty = 104933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36381 / 104933 ti = "17/36381/104933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36381/104933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36381 ÷ 217
    36381 ÷ 131072     		x = 0.277565002441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104933 ÷ 217
    104933 ÷ 131072     		y = 0.800575256347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277565002441406 × 2 - 1) × π
    -0.444869995117188 × 3.1415926535     		Λ = -1.39760031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800575256347656 × 2 - 1) × π
    -0.601150512695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.88857003433135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39760031} λ = -1.39760031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88857003433135))-π/2
    2×atan(0.15128799086611)-π/2
    2×0.150149357750162-π/2
    0.300298715500324-1.57079632675     		φ = -1.27049761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39760031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.076599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27049761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.794151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36381 KachelY 104933 -1.39760031 -1.27049761 -80.076599 -72.794151
    Oben rechts KachelX + 1 36382 KachelY 104933 -1.39755237 -1.27049761 -80.073852 -72.794151
    Unten links KachelX 36381 KachelY + 1 104934 -1.39760031 -1.27051179 -80.076599 -72.794963
    Unten rechts KachelX + 1 36382 KachelY + 1 104934 -1.39755237 -1.27051179 -80.073852 -72.794963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27049761--1.27051179) × R
    1.41799999999748e-05 × 6371000     		dl = 90.3407799998392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27049761--1.27051179) × R
    1.41799999999748e-05 × 6371000     		dr = 90.3407799998392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39760031--1.39755237) × cos(-1.27049761) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295805568526286 × 6371000     		do = 90.3466346632025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39760031--1.39755237) × cos(-1.27051179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295792023077502 × 6371000     		du = 90.3424975344838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27049761)-sin(-1.27051179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295805568526286-0.295792023077502)×R²
    abs(-1.39755237--1.39760031)×1.35454487844022e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35454487844022e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35454487844022e-05×40589641000000     		ar = 8161.7985700966m²