Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3638 / 5402
↖ ↑ ↗
← S 49.667628°
W 20.126953°		 ← 3 162.64 m → S 49.667628°
W 20.083008°		 →
↑
3 161.67 m
↓
↑
3 161.67 m
↓
S 49.696062°
W 20.126953°		 ← 3 160.79 m →
9 996 306 m²		 S 49.696062°
W 20.083008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44415283203125 y=0.65948486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44415283203125 × 213)
    floor (0.44415283203125 × 8192)
    floor (3638.5)     		tx = 3638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65948486328125 × 213)
    floor (0.65948486328125 × 8192)
    floor (5402.5)     		ty = 5402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3638 / 5402 ti = "13/3638/5402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3638/5402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3638 ÷ 213
    3638 ÷ 8192     		x = 0.444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5402 ÷ 213
    5402 ÷ 8192     		y = 0.659423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.11181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35128160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659423828125 × 2 - 1) × π
    -0.31884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00168945446069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35128160} λ = -0.35128160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00168945446069))-π/2
    2×atan(0.367258450324142)-π/2
    2×0.351966344826766-π/2
    0.703932689653532-1.57079632675     		φ = -0.86686364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35128160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.126953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86686364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.667628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3638 KachelY 5402 -0.35128160 -0.86686364 -20.126953 -49.667628
    Oben rechts KachelX + 1 3639 KachelY 5402 -0.35051461 -0.86686364 -20.083008 -49.667628
    Unten links KachelX 3638 KachelY + 1 5403 -0.35128160 -0.86735990 -20.126953 -49.696062
    Unten rechts KachelX + 1 3639 KachelY + 1 5403 -0.35051461 -0.86735990 -20.083008 -49.696062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86686364--0.86735990) × R
    0.000496259999999915 × 6371000     		dl = 3161.67245999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86686364--0.86735990) × R
    0.000496259999999915 × 6371000     		dr = 3161.67245999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35128160--0.35051461) × cos(-0.86686364) × R
    0.000766990000000023 × 0.647220582517329 × 6371000     		do = 3162.63903362091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35128160--0.35051461) × cos(-0.86735990) × R
    0.000766990000000023 × 0.646842202461983 × 6371000     		du = 3160.7900820194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86686364)-sin(-0.86735990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647220582517329-0.646842202461983)×R²
    abs(-0.35051461--0.35128160)×0.000378380055345295×R²
    0.000766990000000023×0.000378380055345295×6371000²
    0.000766990000000023×0.000378380055345295×40589641000000     		ar = 9996306.04899033m²