Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36379 / 47971
↖ ↑ ↗
← S 63.789766°
E 19.835815°		 ← 269.76 m → S 63.789766°
E 19.841308°		 →
↑
269.75 m
↓
↑
269.75 m
↓
S 63.792192°
E 19.835815°		 ← 269.74 m →
72 765 m²		 S 63.792192°
E 19.841308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555107116699219 y=0.731986999511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555107116699219 × 216)
    floor (0.555107116699219 × 65536)
    floor (36379.5)     		tx = 36379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731986999511719 × 216)
    floor (0.731986999511719 × 65536)
    floor (47971.5)     		ty = 47971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36379 / 47971 ti = "16/36379/47971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36379/47971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36379 ÷ 216
    36379 ÷ 65536     		x = 0.555099487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47971 ÷ 216
    47971 ÷ 65536     		y = 0.731979370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555099487304688 × 2 - 1) × π
    0.110198974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.34620029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731979370117188 × 2 - 1) × π
    -0.463958740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45756936984743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34620029} λ = 0.34620029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45756936984743))-π/2
    2×atan(0.23280144179945)-π/2
    2×0.228727445721945-π/2
    0.45745489144389-1.57079632675     		φ = -1.11334144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34620029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.835815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11334144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.789766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36379 KachelY 47971 0.34620029 -1.11334144 19.835815 -63.789766
    Oben rechts KachelX + 1 36380 KachelY 47971 0.34629616 -1.11334144 19.841308 -63.789766
    Unten links KachelX 36379 KachelY + 1 47972 0.34620029 -1.11338378 19.835815 -63.792192
    Unten rechts KachelX + 1 36380 KachelY + 1 47972 0.34629616 -1.11338378 19.841308 -63.792192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11334144--1.11338378) × R
    4.23400000000296e-05 × 6371000     		dl = 269.748140000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11334144--1.11338378) × R
    4.23400000000296e-05 × 6371000     		dr = 269.748140000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34620029-0.34629616) × cos(-1.11334144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441666116525064 × 6371000     		do = 269.764262396898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34620029-0.34629616) × cos(-1.11338378) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441628129549486 × 6371000     		du = 269.741060416796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11334144)-sin(-1.11338378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441666116525064-0.441628129549486)×R²
    abs(0.34629616-0.34620029)×3.79869755772755e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.79869755772755e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.79869755772755e-05×40589641000000     		ar = 72765.278685392m²