Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36373 / 105203
↖ ↑ ↗
← S 73.012163°
W 80.098572°		 ← 89.22 m → S 73.012163°
W 80.095825°		 →
↑
89.26 m
↓
↑
89.26 m
↓
S 73.012965°
W 80.098572°		 ← 89.21 m →
7 963 m²		 S 73.012965°
W 80.095825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277507781982422 y=0.802639007568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277507781982422 × 217)
    floor (0.277507781982422 × 131072)
    floor (36373.5)     		tx = 36373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802639007568359 × 217)
    floor (0.802639007568359 × 131072)
    floor (105203.5)     		ty = 105203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36373 / 105203 ti = "17/36373/105203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36373/105203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36373 ÷ 217
    36373 ÷ 131072     		x = 0.277503967285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105203 ÷ 217
    105203 ÷ 131072     		y = 0.802635192871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277503967285156 × 2 - 1) × π
    -0.444992065429688 × 3.1415926535     		Λ = -1.39798380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802635192871094 × 2 - 1) × π
    -0.605270385742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.90151299722877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39798380} λ = -1.39798380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90151299722877))-π/2
    2×atan(0.149342493423231)-π/2
    2×0.14824684745056-π/2
    0.29649369490112-1.57079632675     		φ = -1.27430263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39798380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.098572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27430263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.012163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36373 KachelY 105203 -1.39798380 -1.27430263 -80.098572 -73.012163
    Oben rechts KachelX + 1 36374 KachelY 105203 -1.39793587 -1.27430263 -80.095825 -73.012163
    Unten links KachelX 36373 KachelY + 1 105204 -1.39798380 -1.27431664 -80.098572 -73.012965
    Unten rechts KachelX + 1 36374 KachelY + 1 105204 -1.39793587 -1.27431664 -80.095825 -73.012965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27430263--1.27431664) × R
    1.40099999998977e-05 × 6371000     		dl = 89.2577099993484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27430263--1.27431664) × R
    1.40099999998977e-05 × 6371000     		dr = 89.2577099993484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39798380--1.39793587) × cos(-1.27430263) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.292168697546376 × 6371000     		do = 89.2172265852719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39798380--1.39793587) × cos(-1.27431664) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.292155298818864 × 6371000     		du = 89.2131351226395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27430263)-sin(-1.27431664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292168697546376-0.292155298818864)×R²
    abs(-1.39793587--1.39798380)×1.33987275118264e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33987275118264e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33987275118264e-05×40589641000000     		ar = 7963.14274038071m²