Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36372 / 104852
↖ ↑ ↗
← S 72.728220°
W 80.101318°		 ← 90.68 m → S 72.728220°
W 80.098572°		 →
↑
90.66 m
↓
↑
90.66 m
↓
S 72.729035°
W 80.101318°		 ← 90.68 m →
8 221 m²		 S 72.729035°
W 80.098572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277500152587891 y=0.799961090087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277500152587891 × 217)
    floor (0.277500152587891 × 131072)
    floor (36372.5)     		tx = 36372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799961090087891 × 217)
    floor (0.799961090087891 × 131072)
    floor (104852.5)     		ty = 104852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36372 / 104852 ti = "17/36372/104852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36372/104852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36372 ÷ 217
    36372 ÷ 131072     		x = 0.277496337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104852 ÷ 217
    104852 ÷ 131072     		y = 0.799957275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.44500732421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39803174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799957275390625 × 2 - 1) × π
    -0.59991455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88468714546213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39803174} λ = -1.39803174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88468714546213))-π/2
    2×atan(0.151876567270788)-π/2
    2×0.150724714069787-π/2
    0.301449428139573-1.57079632675     		φ = -1.26934690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39803174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.101318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26934690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.728220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36372 KachelY 104852 -1.39803174 -1.26934690 -80.101318 -72.728220
    Oben rechts KachelX + 1 36373 KachelY 104852 -1.39798380 -1.26934690 -80.098572 -72.728220
    Unten links KachelX 36372 KachelY + 1 104853 -1.39803174 -1.26936113 -80.101318 -72.729035
    Unten rechts KachelX + 1 36373 KachelY + 1 104853 -1.39798380 -1.26936113 -80.098572 -72.729035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26934690--1.26936113) × R
    1.4230000000115e-05 × 6371000     		dl = 90.6593300007326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26934690--1.26936113) × R
    1.4230000000115e-05 × 6371000     		dr = 90.6593300007326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39803174--1.39798380) × cos(-1.26934690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296904586061995 × 6371000     		do = 90.6823029073191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39803174--1.39798380) × cos(-1.26936113) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296890997703178 × 6371000     		du = 90.678152672772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26934690)-sin(-1.26936113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296904586061995-0.296890997703178)×R²
    abs(-1.39798380--1.39803174)×1.35883588169849e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35883588169849e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35883588169849e-05×40589641000000     		ar = 8221.00869591838m²