Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36371 / 104854
↖ ↑ ↗
← S 72.729851°
W 80.104065°		 ← 90.67 m → S 72.729851°
W 80.101318°		 →
↑
90.66 m
↓
↑
90.66 m
↓
S 72.730666°
W 80.104065°		 ← 90.67 m →
8 220 m²		 S 72.730666°
W 80.101318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277492523193359 y=0.799976348876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277492523193359 × 217)
    floor (0.277492523193359 × 131072)
    floor (36371.5)     		tx = 36371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799976348876953 × 217)
    floor (0.799976348876953 × 131072)
    floor (104854.5)     		ty = 104854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36371 / 104854 ti = "17/36371/104854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36371/104854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36371 ÷ 217
    36371 ÷ 131072     		x = 0.277488708496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104854 ÷ 217
    104854 ÷ 131072     		y = 0.799972534179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277488708496094 × 2 - 1) × π
    -0.445022583007812 × 3.1415926535     		Λ = -1.39807968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799972534179688 × 2 - 1) × π
    -0.599945068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88478301926137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39807968} λ = -1.39807968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88478301926137))-π/2
    2×atan(0.151862006985255)-π/2
    2×0.150710482035874-π/2
    0.301420964071747-1.57079632675     		φ = -1.26937536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39807968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.104065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26937536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.729851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36371 KachelY 104854 -1.39807968 -1.26937536 -80.104065 -72.729851
    Oben rechts KachelX + 1 36372 KachelY 104854 -1.39803174 -1.26937536 -80.101318 -72.729851
    Unten links KachelX 36371 KachelY + 1 104855 -1.39807968 -1.26938959 -80.104065 -72.730666
    Unten rechts KachelX + 1 36372 KachelY + 1 104855 -1.39803174 -1.26938959 -80.101318 -72.730666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26937536--1.26938959) × R
    1.4230000000115e-05 × 6371000     		dl = 90.6593300007326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26937536--1.26938959) × R
    1.4230000000115e-05 × 6371000     		dr = 90.6593300007326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39807968--1.39803174) × cos(-1.26937536) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296877409284243 × 6371000     		do = 90.6740024198633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39807968--1.39803174) × cos(-1.26938959) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296863820805192 × 6371000     		du = 90.6698521485937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26937536)-sin(-1.26938959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296877409284243-0.296863820805192)×R²
    abs(-1.39803174--1.39807968)×1.35884790509189e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35884790509189e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35884790509189e-05×40589641000000     		ar = 8220.25617757218m²