Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3637 / 5403
↖ ↑ ↗
← S 49.696062°
W 20.170898°		 ← 3 160.79 m → S 49.696062°
W 20.126953°		 →
↑
3 159.89 m
↓
↑
3 159.89 m
↓
S 49.724479°
W 20.170898°		 ← 3 158.94 m →
9 984 824 m²		 S 49.724479°
W 20.126953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44403076171875 y=0.65960693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44403076171875 × 213)
    floor (0.44403076171875 × 8192)
    floor (3637.5)     		tx = 3637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65960693359375 × 213)
    floor (0.65960693359375 × 8192)
    floor (5403.5)     		ty = 5403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3637 / 5403 ti = "13/3637/5403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3637/5403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3637 ÷ 213
    3637 ÷ 8192     		x = 0.4439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5403 ÷ 213
    5403 ÷ 8192     		y = 0.6595458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35204859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6595458984375 × 2 - 1) × π
    -0.319091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.00245644485461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35204859} λ = -0.35204859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00245644485461))-π/2
    2×atan(0.366976874617392)-π/2
    2×0.35171821139761-π/2
    0.703436422795219-1.57079632675     		φ = -0.86735990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35204859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.170898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86735990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.696062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3637 KachelY 5403 -0.35204859 -0.86735990 -20.170898 -49.696062
    Oben rechts KachelX + 1 3638 KachelY 5403 -0.35128160 -0.86735990 -20.126953 -49.696062
    Unten links KachelX 3637 KachelY + 1 5404 -0.35204859 -0.86785588 -20.170898 -49.724479
    Unten rechts KachelX + 1 3638 KachelY + 1 5404 -0.35128160 -0.86785588 -20.126953 -49.724479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86735990--0.86785588) × R
    0.000495980000000062 × 6371000     		dl = 3159.8885800004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86735990--0.86785588) × R
    0.000495980000000062 × 6371000     		dr = 3159.8885800004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35204859--0.35128160) × cos(-0.86735990) × R
    0.000766989999999967 × 0.646842202461983 × 6371000     		do = 3160.79008201917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35204859--0.35128160) × cos(-0.86785588) × R
    0.000766989999999967 × 0.646463876730745 × 6371000     		du = 3158.94139587204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86735990)-sin(-0.86785588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646842202461983-0.646463876730745)×R²
    abs(-0.35128160--0.35204859)×0.000378325731238527×R²
    0.000766989999999967×0.000378325731238527×6371000²
    0.000766989999999967×0.000378325731238527×40589641000000     		ar = 9984823.86751703m²