Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3637 / 5401
↖ ↑ ↗
← S 49.639177°
W 20.170898°		 ← 3 164.49 m → S 49.639177°
W 20.126953°		 →
↑
3 163.58 m
↓
↑
3 163.58 m
↓
S 49.667628°
W 20.170898°		 ← 3 162.64 m →
10 008 199 m²		 S 49.667628°
W 20.126953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44403076171875 y=0.65936279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44403076171875 × 213)
    floor (0.44403076171875 × 8192)
    floor (3637.5)     		tx = 3637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65936279296875 × 213)
    floor (0.65936279296875 × 8192)
    floor (5401.5)     		ty = 5401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3637 / 5401 ti = "13/3637/5401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3637/5401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3637 ÷ 213
    3637 ÷ 8192     		x = 0.4439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5401 ÷ 213
    5401 ÷ 8192     		y = 0.6593017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35204859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6593017578125 × 2 - 1) × π
    -0.318603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00092246406677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35204859} λ = -0.35204859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00092246406677))-π/2
    2×atan(0.367540242079597)-π/2
    2×0.352214623376715-π/2
    0.70442924675343-1.57079632675     		φ = -0.86636708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35204859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.170898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86636708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.639177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3637 KachelY 5401 -0.35204859 -0.86636708 -20.170898 -49.639177
    Oben rechts KachelX + 1 3638 KachelY 5401 -0.35128160 -0.86636708 -20.126953 -49.639177
    Unten links KachelX 3637 KachelY + 1 5402 -0.35204859 -0.86686364 -20.170898 -49.667628
    Unten rechts KachelX + 1 3638 KachelY + 1 5402 -0.35128160 -0.86686364 -20.126953 -49.667628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86636708--0.86686364) × R
    0.00049656000000009 × 6371000     		dl = 3163.58376000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86636708--0.86686364) × R
    0.00049656000000009 × 6371000     		dr = 3163.58376000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35204859--0.35128160) × cos(-0.86636708) × R
    0.000766989999999967 × 0.647599031773501 × 6371000     		do = 3164.48832337158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35204859--0.35128160) × cos(-0.86686364) × R
    0.000766989999999967 × 0.647220582517329 × 6371000     		du = 3162.63903362068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86636708)-sin(-0.86686364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647599031773501-0.647220582517329)×R²
    abs(-0.35128160--0.35204859)×0.000378449256172586×R²
    0.000766989999999967×0.000378449256172586×6371000²
    0.000766989999999967×0.000378449256172586×40589641000000     		ar = 10008198.8826625m²