Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3637 / 2669
↖ ↑ ↗
← N 76.284333°
W100.085449°		 ← 579.30 m → N 76.284333°
W100.063477°		 →
↑
579.38 m
↓
↑
579.38 m
↓
N 76.279122°
W100.085449°		 ← 579.51 m →
335 694 m²		 N 76.279122°
W100.063477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222015380859375 y=0.162933349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222015380859375 × 214)
    floor (0.222015380859375 × 16384)
    floor (3637.5)     		tx = 3637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162933349609375 × 214)
    floor (0.162933349609375 × 16384)
    floor (2669.5)     		ty = 2669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3637 / 2669 ti = "14/3637/2669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3637/2669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3637 ÷ 214
    3637 ÷ 16384     		x = 0.22198486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2669 ÷ 214
    2669 ÷ 16384     		y = 0.16290283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22198486328125 × 2 - 1) × π
    -0.5560302734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.74682062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16290283203125 × 2 - 1) × π
    0.6741943359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.11804397281256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74682062} λ = -1.74682062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11804397281256))-π/2
    2×atan(8.31485748351554)-π/2
    2×1.45110455081953-π/2
    2.90220910163906-1.57079632675     		φ = 1.33141277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74682062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.085449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33141277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.284333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3637 KachelY 2669 -1.74682062 1.33141277 -100.085449 76.284333
    Oben rechts KachelX + 1 3638 KachelY 2669 -1.74643713 1.33141277 -100.063477 76.284333
    Unten links KachelX 3637 KachelY + 1 2670 -1.74682062 1.33132183 -100.085449 76.279122
    Unten rechts KachelX + 1 3638 KachelY + 1 2670 -1.74643713 1.33132183 -100.063477 76.279122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33141277-1.33132183) × R
    9.09399999999838e-05 × 6371000     		dl = 579.378739999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33141277-1.33132183) × R
    9.09399999999838e-05 × 6371000     		dr = 579.378739999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74682062--1.74643713) × cos(1.33141277) × R
    0.000383490000000153 × 0.237103806606839 × 6371000     		do = 579.295527067359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74682062--1.74643713) × cos(1.33132183) × R
    0.000383490000000153 × 0.237192152410385 × 6371000     		du = 579.511374841218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33141277)-sin(1.33132183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237103806606839-0.237192152410385)×R²
    abs(-1.74643713--1.74682062)×8.8345803546358e-05×R²
    0.000383490000000153×8.8345803546358e-05×6371000²
    0.000383490000000153×8.8345803546358e-05×40589641000000     		ar = 335694.041596371m²