Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3637 / 2378
↖ ↑ ↗
← N 60.020952°
W 20.170898°		 ← 2 441.70 m → N 60.020952°
W 20.126953°		 →
↑
2 442.51 m
↓
↑
2 442.51 m
↓
N 59.998986°
W 20.170898°		 ← 2 443.32 m →
5 965 865 m²		 N 59.998986°
W 20.126953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44403076171875 y=0.29034423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44403076171875 × 213)
    floor (0.44403076171875 × 8192)
    floor (3637.5)     		tx = 3637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29034423828125 × 213)
    floor (0.29034423828125 × 8192)
    floor (2378.5)     		ty = 2378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3637 / 2378 ti = "13/3637/2378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3637/2378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3637 ÷ 213
    3637 ÷ 8192     		x = 0.4439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2378 ÷ 213
    2378 ÷ 8192     		y = 0.290283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35204859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290283203125 × 2 - 1) × π
    0.41943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.3176894967561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35204859} λ = -0.35204859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3176894967561))-π/2
    2×atan(3.73478217432195)-π/2
    2×1.30917978102048-π/2
    2.61835956204096-1.57079632675     		φ = 1.04756324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35204859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.170898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04756324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.020952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3637 KachelY 2378 -0.35204859 1.04756324 -20.170898 60.020952
    Oben rechts KachelX + 1 3638 KachelY 2378 -0.35128160 1.04756324 -20.126953 60.020952
    Unten links KachelX 3637 KachelY + 1 2379 -0.35204859 1.04717986 -20.170898 59.998986
    Unten rechts KachelX + 1 3638 KachelY + 1 2379 -0.35128160 1.04717986 -20.126953 59.998986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04756324-1.04717986) × R
    0.000383379999999933 × 6371000     		dl = 2442.51397999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04756324-1.04717986) × R
    0.000383379999999933 × 6371000     		dr = 2442.51397999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35204859--0.35128160) × cos(1.04756324) × R
    0.000766989999999967 × 0.499683270781358 × 6371000     		do = 2441.69894979825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35204859--0.35128160) × cos(1.04717986) × R
    0.000766989999999967 × 0.500015320947432 × 6371000     		du = 2443.32151070672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04756324)-sin(1.04717986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.499683270781358-0.500015320947432)×R²
    abs(-0.35128160--0.35204859)×0.000332050166073738×R²
    0.000766989999999967×0.000332050166073738×6371000²
    0.000766989999999967×0.000332050166073738×40589641000000     		ar = 5965865.4567559m²