Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3637 / 1832
↖ ↑ ↗
← N 70.020587°
W 20.170898°		 ← 1 669.63 m → N 70.020587°
W 20.126953°		 →
↑
1 670.22 m
↓
↑
1 670.22 m
↓
N 70.005566°
W 20.170898°		 ← 1 670.83 m →
2 789 656 m²		 N 70.005566°
W 20.126953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44403076171875 y=0.22369384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44403076171875 × 213)
    floor (0.44403076171875 × 8192)
    floor (3637.5)     		tx = 3637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22369384765625 × 213)
    floor (0.22369384765625 × 8192)
    floor (1832.5)     		ty = 1832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3637 / 1832 ti = "13/3637/1832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3637/1832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3637 ÷ 213
    3637 ÷ 8192     		x = 0.4439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1832 ÷ 213
    1832 ÷ 8192     		y = 0.2236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35204859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2236328125 × 2 - 1) × π
    0.552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73646625183691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35204859} λ = -0.35204859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73646625183691))-π/2
    2×atan(5.67724597638829)-π/2
    2×1.39644305968672-π/2
    2.79288611937344-1.57079632675     		φ = 1.22208979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35204859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.170898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22208979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.020587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3637 KachelY 1832 -0.35204859 1.22208979 -20.170898 70.020587
    Oben rechts KachelX + 1 3638 KachelY 1832 -0.35128160 1.22208979 -20.126953 70.020587
    Unten links KachelX 3637 KachelY + 1 1833 -0.35204859 1.22182763 -20.170898 70.005566
    Unten rechts KachelX + 1 3638 KachelY + 1 1833 -0.35128160 1.22182763 -20.126953 70.005566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22208979-1.22182763) × R
    0.000262160000000122 × 6371000     		dl = 1670.22136000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22208979-1.22182763) × R
    0.000262160000000122 × 6371000     		dr = 1670.22136000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35204859--0.35128160) × cos(1.22208979) × R
    0.000766989999999967 × 0.341682476912264 × 6371000     		do = 1669.62913074229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35204859--0.35128160) × cos(1.22182763) × R
    0.000766989999999967 × 0.341928847186946 × 6371000     		du = 1670.83301743638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22208979)-sin(1.22182763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341682476912264-0.341928847186946)×R²
    abs(-0.35128160--0.35204859)×0.00024637027468144×R²
    0.000766989999999967×0.00024637027468144×6371000²
    0.000766989999999967×0.00024637027468144×40589641000000     		ar = 2789655.6320572m²