Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36367 / 105012
↖ ↑ ↗
← S 72.858219°
W 80.115052°		 ← 90.02 m → S 72.858219°
W 80.112305°		 →
↑
90.02 m
↓
↑
90.02 m
↓
S 72.859029°
W 80.115052°		 ← 90.02 m →
8 104 m²		 S 72.859029°
W 80.112305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277462005615234 y=0.801181793212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277462005615234 × 217)
    floor (0.277462005615234 × 131072)
    floor (36367.5)     		tx = 36367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801181793212891 × 217)
    floor (0.801181793212891 × 131072)
    floor (105012.5)     		ty = 105012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36367 / 105012 ti = "17/36367/105012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36367/105012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36367 ÷ 217
    36367 ÷ 131072     		x = 0.277458190917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105012 ÷ 217
    105012 ÷ 131072     		y = 0.801177978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277458190917969 × 2 - 1) × π
    -0.445083618164062 × 3.1415926535     		Λ = -1.39827143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801177978515625 × 2 - 1) × π
    -0.60235595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.89235704940134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39827143} λ = -1.39827143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89235704940134))-π/2
    2×atan(0.150716144443729)-π/2
    2×0.149590259685746-π/2
    0.299180519371492-1.57079632675     		φ = -1.27161581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39827143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.115052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27161581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.858219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36367 KachelY 105012 -1.39827143 -1.27161581 -80.115052 -72.858219
    Oben rechts KachelX + 1 36368 KachelY 105012 -1.39822349 -1.27161581 -80.112305 -72.858219
    Unten links KachelX 36367 KachelY + 1 105013 -1.39827143 -1.27162994 -80.115052 -72.859029
    Unten rechts KachelX + 1 36368 KachelY + 1 105013 -1.39822349 -1.27162994 -80.112305 -72.859029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27161581--1.27162994) × R
    1.41300000000566e-05 × 6371000     		dl = 90.0222300003606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27161581--1.27162994) × R
    1.41300000000566e-05 × 6371000     		dr = 90.0222300003606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39827143--1.39822349) × cos(-1.27161581) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.294737225312209 × 6371000     		do = 90.0203351468861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39827143--1.39822349) × cos(-1.27162994) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.294723722960811 × 6371000     		du = 90.0162111812187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27161581)-sin(-1.27162994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294737225312209-0.294723722960811)×R²
    abs(-1.39822349--1.39827143)×1.35023513975208e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.35023513975208e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.35023513975208e-05×40589641000000     		ar = 8103.64569123756m²