Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36365 / 105194
↖ ↑ ↗
← S 73.004939°
W 80.120545°		 ← 89.27 m → S 73.004939°
W 80.117798°		 →
↑
89.32 m
↓
↑
89.32 m
↓
S 73.005742°
W 80.120545°		 ← 89.27 m →
7 974 m²		 S 73.005742°
W 80.117798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277446746826172 y=0.802570343017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277446746826172 × 217)
    floor (0.277446746826172 × 131072)
    floor (36365.5)     		tx = 36365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802570343017578 × 217)
    floor (0.802570343017578 × 131072)
    floor (105194.5)     		ty = 105194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36365 / 105194 ti = "17/36365/105194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36365/105194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36365 ÷ 217
    36365 ÷ 131072     		x = 0.277442932128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105194 ÷ 217
    105194 ÷ 131072     		y = 0.802566528320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277442932128906 × 2 - 1) × π
    -0.445114135742188 × 3.1415926535     		Λ = -1.39836730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802566528320312 × 2 - 1) × π
    -0.605133056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.90108156513219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39836730} λ = -1.39836730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90108156513219))-π/2
    2×atan(0.149406938469108)-π/2
    2×0.148309885931047-π/2
    0.296619771862093-1.57079632675     		φ = -1.27417655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39836730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.120545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27417655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.004939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36365 KachelY 105194 -1.39836730 -1.27417655 -80.120545 -73.004939
    Oben rechts KachelX + 1 36366 KachelY 105194 -1.39831936 -1.27417655 -80.117798 -73.004939
    Unten links KachelX 36365 KachelY + 1 105195 -1.39836730 -1.27419057 -80.120545 -73.005742
    Unten rechts KachelX + 1 36366 KachelY + 1 105195 -1.39831936 -1.27419057 -80.117798 -73.005742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27417655--1.27419057) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dl = 89.3214200003758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27417655--1.27419057) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dr = 89.3214200003758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39836730--1.39831936) × cos(-1.27417655) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.292289273949758 × 6371000     		do = 89.2726677905224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39836730--1.39831936) × cos(-1.27419057) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.292275866175081 × 6371000     		du = 89.26857271102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27417655)-sin(-1.27419057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292289273949758-0.292275866175081)×R²
    abs(-1.39831936--1.39836730)×1.3407774676677e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.3407774676677e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.3407774676677e-05×40589641000000     		ar = 7973.77856522981m²