Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36363 / 105197
↖ ↑ ↗
← S 73.007347°
W 80.126037°		 ← 89.24 m → S 73.007347°
W 80.123291°		 →
↑
89.26 m
↓
↑
89.26 m
↓
S 73.008150°
W 80.126037°		 ← 89.24 m →
7 965 m²		 S 73.008150°
W 80.123291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277431488037109 y=0.802593231201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277431488037109 × 217)
    floor (0.277431488037109 × 131072)
    floor (36363.5)     		tx = 36363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802593231201172 × 217)
    floor (0.802593231201172 × 131072)
    floor (105197.5)     		ty = 105197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36363 / 105197 ti = "17/36363/105197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36363/105197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36363 ÷ 217
    36363 ÷ 131072     		x = 0.277427673339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105197 ÷ 217
    105197 ÷ 131072     		y = 0.802589416503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277427673339844 × 2 - 1) × π
    -0.445144653320312 × 3.1415926535     		Λ = -1.39846317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802589416503906 × 2 - 1) × π
    -0.605178833007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.90122537583105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39846317} λ = -1.39846317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90122537583105))-π/2
    2×atan(0.149385453697779)-π/2
    2×0.148288870214198-π/2
    0.296577740428396-1.57079632675     		φ = -1.27421859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39846317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.126037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27421859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.007347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36363 KachelY 105197 -1.39846317 -1.27421859 -80.126037 -73.007347
    Oben rechts KachelX + 1 36364 KachelY 105197 -1.39841524 -1.27421859 -80.123291 -73.007347
    Unten links KachelX 36363 KachelY + 1 105198 -1.39846317 -1.27423260 -80.126037 -73.008150
    Unten rechts KachelX + 1 36364 KachelY + 1 105198 -1.39841524 -1.27423260 -80.123291 -73.008150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27421859--1.27423260) × R
    1.40099999998977e-05 × 6371000     		dl = 89.2577099993484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27421859--1.27423260) × R
    1.40099999998977e-05 × 6371000     		dr = 89.2577099993484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39846317--1.39841524) × cos(-1.27421859) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.292249069580226 × 6371000     		do = 89.2417691526836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39846317--1.39841524) × cos(-1.27423260) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.292235671196753 × 6371000     		du = 89.2376777951076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27421859)-sin(-1.27423260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292249069580226-0.292235671196753)×R²
    abs(-1.39841524--1.39846317)×1.33983834728624e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33983834728624e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33983834728624e-05×40589641000000     		ar = 7965.33335845467m²