Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36362 / 51709
↖ ↑ ↗
← S 71.519686°
E 19.742431°		 ← 193.63 m → S 71.519686°
E 19.747925°		 →
↑
193.61 m
↓
↑
193.61 m
↓
S 71.521427°
E 19.742431°		 ← 193.61 m →
37 487 m²		 S 71.521427°
E 19.747925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554847717285156 y=0.789024353027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554847717285156 × 216)
    floor (0.554847717285156 × 65536)
    floor (36362.5)     		tx = 36362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.789024353027344 × 216)
    floor (0.789024353027344 × 65536)
    floor (51709.5)     		ty = 51709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36362 / 51709 ti = "16/36362/51709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36362/51709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36362 ÷ 216
    36362 ÷ 65536     		x = 0.554840087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51709 ÷ 216
    51709 ÷ 65536     		y = 0.789016723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.554840087890625 × 2 - 1) × π
    0.10968017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.34457043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.789016723632812 × 2 - 1) × π
    -0.578033447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.81594563140697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34457043} λ = 0.34457043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81594563140697))-π/2
    2×atan(0.162683996533191)-π/2
    2×0.161271162186798-π/2
    0.322542324373596-1.57079632675     		φ = -1.24825400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34457043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.742431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24825400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.519686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36362 KachelY 51709 0.34457043 -1.24825400 19.742431 -71.519686
    Oben rechts KachelX + 1 36363 KachelY 51709 0.34466631 -1.24825400 19.747925 -71.519686
    Unten links KachelX 36362 KachelY + 1 51710 0.34457043 -1.24828439 19.742431 -71.521427
    Unten rechts KachelX + 1 36363 KachelY + 1 51710 0.34466631 -1.24828439 19.747925 -71.521427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24825400--1.24828439) × R
    3.03900000000468e-05 × 6371000     		dl = 193.614690000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24825400--1.24828439) × R
    3.03900000000468e-05 × 6371000     		dr = 193.614690000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34457043-0.34466631) × cos(-1.24825400) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.316978808066291 × 6371000     		do = 193.626974035915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34457043-0.34466631) × cos(-1.24828439) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.316949985052591 × 6371000     		du = 193.609367455338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24825400)-sin(-1.24828439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316978808066291-0.316949985052591)×R²
    abs(0.34466631-0.34457043)×2.88230136995526e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.88230136995526e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.88230136995526e-05×40589641000000     		ar = 37487.322109912m²