Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3636 / 4555
↖ ↑ ↗
← N 62.155241°
W100.107422°		 ← 1 141.20 m → N 62.155241°
W100.085449°		 →
↑
1 141.36 m
↓
↑
1 141.36 m
↓
N 62.144976°
W100.107422°		 ← 1 141.59 m →
1 302 747 m²		 N 62.144976°
W100.085449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221954345703125 y=0.278045654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221954345703125 × 214)
    floor (0.221954345703125 × 16384)
    floor (3636.5)     		tx = 3636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.278045654296875 × 214)
    floor (0.278045654296875 × 16384)
    floor (4555.5)     		ty = 4555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3636 / 4555 ti = "14/3636/4555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3636/4555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3636 ÷ 214
    3636 ÷ 16384     		x = 0.221923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4555 ÷ 214
    4555 ÷ 16384     		y = 0.27801513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221923828125 × 2 - 1) × π
    -0.55615234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.74720412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27801513671875 × 2 - 1) × π
    0.4439697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.39477203134515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74720412} λ = -1.74720412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39477203134515))-π/2
    2×atan(4.0340548297468)-π/2
    2×1.32780496228282-π/2
    2.65560992456563-1.57079632675     		φ = 1.08481360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74720412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.107422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08481360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.155241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3636 KachelY 4555 -1.74720412 1.08481360 -100.107422 62.155241
    Oben rechts KachelX + 1 3637 KachelY 4555 -1.74682062 1.08481360 -100.085449 62.155241
    Unten links KachelX 3636 KachelY + 1 4556 -1.74720412 1.08463445 -100.107422 62.144976
    Unten rechts KachelX + 1 3637 KachelY + 1 4556 -1.74682062 1.08463445 -100.085449 62.144976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08481360-1.08463445) × R
    0.000179149999999906 × 6371000     		dl = 1141.3646499994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08481360-1.08463445) × R
    0.000179149999999906 × 6371000     		dr = 1141.3646499994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74720412--1.74682062) × cos(1.08481360) × R
    0.00038349999999987 × 0.4670775279652 × 6371000     		do = 1141.20048191014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74720412--1.74682062) × cos(1.08463445) × R
    0.00038349999999987 × 0.467235927831058 × 6371000     		du = 1141.58749689679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08481360)-sin(1.08463445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4670775279652-0.467235927831058)×R²
    abs(-1.74682062--1.74720412)×0.000158399865857695×R²
    0.00038349999999987×0.000158399865857695×6371000²
    0.00038349999999987×0.000158399865857695×40589641000000     		ar = 1302746.75471133m²