Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3636 / 2668
↖ ↑ ↗
← N 76.289542°
W100.107422°		 ← 579.09 m → N 76.289542°
W100.085449°		 →
↑
579.25 m
↓
↑
579.25 m
↓
N 76.284333°
W100.107422°		 ← 579.31 m →
335 504 m²		 N 76.284333°
W100.085449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221954345703125 y=0.162872314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221954345703125 × 214)
    floor (0.221954345703125 × 16384)
    floor (3636.5)     		tx = 3636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162872314453125 × 214)
    floor (0.162872314453125 × 16384)
    floor (2668.5)     		ty = 2668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3636 / 2668 ti = "14/3636/2668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3636/2668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3636 ÷ 214
    3636 ÷ 16384     		x = 0.221923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2668 ÷ 214
    2668 ÷ 16384     		y = 0.162841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221923828125 × 2 - 1) × π
    -0.55615234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.74720412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162841796875 × 2 - 1) × π
    0.67431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11842746800952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74720412} λ = -1.74720412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11842746800952))-π/2
    2×atan(8.31804680292912)-π/2
    2×1.45115000643608-π/2
    2.90230001287217-1.57079632675     		φ = 1.33150369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74720412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.107422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33150369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.289542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3636 KachelY 2668 -1.74720412 1.33150369 -100.107422 76.289542
    Oben rechts KachelX + 1 3637 KachelY 2668 -1.74682062 1.33150369 -100.085449 76.289542
    Unten links KachelX 3636 KachelY + 1 2669 -1.74720412 1.33141277 -100.107422 76.284333
    Unten rechts KachelX + 1 3637 KachelY + 1 2669 -1.74682062 1.33141277 -100.085449 76.284333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33150369-1.33141277) × R
    9.09199999998833e-05 × 6371000     		dl = 579.251319999257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33150369-1.33141277) × R
    9.09199999998833e-05 × 6371000     		dr = 579.251319999257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74720412--1.74682062) × cos(1.33150369) × R
    0.00038349999999987 × 0.237015478272542 × 6371000     		do = 579.094822230322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74720412--1.74682062) × cos(1.33141277) × R
    0.00038349999999987 × 0.237103806606839 × 6371000     		du = 579.310632950451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33150369)-sin(1.33141277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237015478272542-0.237103806606839)×R²
    abs(-1.74682062--1.74720412)×8.83283342970331e-05×R²
    0.00038349999999987×8.83283342970331e-05×6371000²
    0.00038349999999987×8.83283342970331e-05×40589641000000     		ar = 335503.944735892m²