Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3636 / 1763
↖ ↑ ↗
← N 71.031250°
W 20.214844°		 ← 1 588.37 m → N 71.031250°
W 20.170898°		 →
↑
1 588.99 m
↓
↑
1 588.99 m
↓
N 71.016960°
W 20.214844°		 ← 1 589.52 m →
2 524 816 m²		 N 71.016960°
W 20.170898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44390869140625 y=0.21527099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44390869140625 × 213)
    floor (0.44390869140625 × 8192)
    floor (3636.5)     		tx = 3636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21527099609375 × 213)
    floor (0.21527099609375 × 8192)
    floor (1763.5)     		ty = 1763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3636 / 1763 ti = "13/3636/1763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3636/1763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3636 ÷ 213
    3636 ÷ 8192     		x = 0.44384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1763 ÷ 213
    1763 ÷ 8192     		y = 0.2152099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44384765625 × 2 - 1) × π
    -0.1123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35281558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2152099609375 × 2 - 1) × π
    0.569580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78938858901746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35281558} λ = -0.35281558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78938858901746))-π/2
    2×atan(5.98579156863633)-π/2
    2×1.40526275090775-π/2
    2.8105255018155-1.57079632675     		φ = 1.23972918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35281558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.214844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23972918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.031250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3636 KachelY 1763 -0.35281558 1.23972918 -20.214844 71.031250
    Oben rechts KachelX + 1 3637 KachelY 1763 -0.35204859 1.23972918 -20.170898 71.031250
    Unten links KachelX 3636 KachelY + 1 1764 -0.35281558 1.23947977 -20.214844 71.016960
    Unten rechts KachelX + 1 3637 KachelY + 1 1764 -0.35204859 1.23947977 -20.170898 71.016960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23972918-1.23947977) × R
    0.000249410000000116 × 6371000     		dl = 1588.99111000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23972918-1.23947977) × R
    0.000249410000000116 × 6371000     		dr = 1588.99111000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35281558--0.35204859) × cos(1.23972918) × R
    0.000766990000000023 × 0.325052409747532 × 6371000     		do = 1588.3664191297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35281558--0.35204859) × cos(1.23947977) × R
    0.000766990000000023 × 0.325288265675305 × 6371000     		du = 1589.51892753816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23972918)-sin(1.23947977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325052409747532-0.325288265675305)×R²
    abs(-0.35204859--0.35281558)×0.000235855927772977×R²
    0.000766990000000023×0.000235855927772977×6371000²
    0.000766990000000023×0.000235855927772977×40589641000000     		ar = 2524815.79531748m²