Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36357 / 105554
↖ ↑ ↗
← S 73.291573°
W 80.142517°		 ← 87.79 m → S 73.291573°
W 80.139771°		 →
↑
87.79 m
↓
↑
87.79 m
↓
S 73.292362°
W 80.142517°		 ← 87.79 m →
7 707 m²		 S 73.292362°
W 80.139771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277385711669922 y=0.805316925048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277385711669922 × 217)
    floor (0.277385711669922 × 131072)
    floor (36357.5)     		tx = 36357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.805316925048828 × 217)
    floor (0.805316925048828 × 131072)
    floor (105554.5)     		ty = 105554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36357 / 105554 ti = "17/36357/105554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36357/105554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36357 ÷ 217
    36357 ÷ 131072     		x = 0.277381896972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105554 ÷ 217
    105554 ÷ 131072     		y = 0.805313110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277381896972656 × 2 - 1) × π
    -0.445236206054688 × 3.1415926535     		Λ = -1.39875079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.805313110351562 × 2 - 1) × π
    -0.610626220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.91833884899541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39875079} λ = -1.39875079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.91833884899541))-π/2
    2×atan(0.14685070082011)-π/2
    2×0.14580853454741-π/2
    0.291617069094819-1.57079632675     		φ = -1.27917926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39875079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.142517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27917926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.291573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36357 KachelY 105554 -1.39875079 -1.27917926 -80.142517 -73.291573
    Oben rechts KachelX + 1 36358 KachelY 105554 -1.39870286 -1.27917926 -80.139771 -73.291573
    Unten links KachelX 36357 KachelY + 1 105555 -1.39875079 -1.27919304 -80.142517 -73.292362
    Unten rechts KachelX + 1 36358 KachelY + 1 105555 -1.39870286 -1.27919304 -80.139771 -73.292362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27917926--1.27919304) × R
    1.37799999999633e-05 × 6371000     		dl = 87.792379999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27917926--1.27919304) × R
    1.37799999999633e-05 × 6371000     		dr = 87.792379999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39875079--1.39870286) × cos(-1.27917926) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.287501394913149 × 6371000     		do = 87.7920095785645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39875079--1.39870286) × cos(-1.27919304) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.287488196674435 × 6371000     		du = 87.7879793375984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27917926)-sin(-1.27919304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287501394913149-0.287488196674435)×R²
    abs(-1.39870286--1.39875079)×1.31982387140406e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.31982387140406e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.31982387140406e-05×40589641000000     		ar = 7707.29255376349m²