Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36356 / 105556
↖ ↑ ↗
← S 73.293152°
W 80.145264°		 ← 87.80 m → S 73.293152°
W 80.142517°		 →
↑
87.79 m
↓
↑
87.79 m
↓
S 73.293941°
W 80.145264°		 ← 87.80 m →
7 708 m²		 S 73.293941°
W 80.142517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277378082275391 y=0.805332183837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277378082275391 × 217)
    floor (0.277378082275391 × 131072)
    floor (36356.5)     		tx = 36356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.805332183837891 × 217)
    floor (0.805332183837891 × 131072)
    floor (105556.5)     		ty = 105556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36356 / 105556 ti = "17/36356/105556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36356/105556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36356 ÷ 217
    36356 ÷ 131072     		x = 0.277374267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105556 ÷ 217
    105556 ÷ 131072     		y = 0.805328369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277374267578125 × 2 - 1) × π
    -0.44525146484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39879873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.805328369140625 × 2 - 1) × π
    -0.61065673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.91843472279465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39879873} λ = -1.39879873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.91843472279465))-π/2
    2×atan(0.14683662236039)-π/2
    2×0.145794753254548-π/2
    0.291589506509095-1.57079632675     		φ = -1.27920682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39879873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.145264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27920682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.293152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36356 KachelY 105556 -1.39879873 -1.27920682 -80.145264 -73.293152
    Oben rechts KachelX + 1 36357 KachelY 105556 -1.39875079 -1.27920682 -80.142517 -73.293152
    Unten links KachelX 36356 KachelY + 1 105557 -1.39879873 -1.27922060 -80.145264 -73.293941
    Unten rechts KachelX + 1 36357 KachelY + 1 105557 -1.39875079 -1.27922060 -80.142517 -73.293941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27920682--1.27922060) × R
    1.37799999999633e-05 × 6371000     		dl = 87.792379999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27920682--1.27922060) × R
    1.37799999999633e-05 × 6371000     		dr = 87.792379999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39879873--1.39875079) × cos(-1.27920682) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.28747499838113 × 6371000     		do = 87.8022641119979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39879873--1.39875079) × cos(-1.27922060) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.287461800033237 × 6371000     		du = 87.7982329968259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27920682)-sin(-1.27922060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.28747499838113-0.287461800033237)×R²
    abs(-1.39875079--1.39879873)×1.31983478929287e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.31983478929287e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.31983478929287e-05×40589641000000     		ar = 7708.1927853637m²