Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36353 / 51704
↖ ↑ ↗
← S 71.510978°
E 19.692993°		 ← 193.69 m → S 71.510978°
E 19.698486°		 →
↑
193.68 m
↓
↑
193.68 m
↓
S 71.512720°
E 19.692993°		 ← 193.68 m →
37 513 m²		 S 71.512720°
E 19.698486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554710388183594 y=0.788948059082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554710388183594 × 216)
    floor (0.554710388183594 × 65536)
    floor (36353.5)     		tx = 36353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788948059082031 × 216)
    floor (0.788948059082031 × 65536)
    floor (51704.5)     		ty = 51704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36353 / 51704 ti = "16/36353/51704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36353/51704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36353 ÷ 216
    36353 ÷ 65536     		x = 0.554702758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51704 ÷ 216
    51704 ÷ 65536     		y = 0.7889404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.554702758789062 × 2 - 1) × π
    0.109405517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.34370757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7889404296875 × 2 - 1) × π
    -0.577880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.81546626241077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34370757} λ = 0.34370757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81546626241077))-π/2
    2×atan(0.162762000892248)-π/2
    2×0.161347154366057-π/2
    0.322694308732115-1.57079632675     		φ = -1.24810202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34370757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.692993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24810202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.510978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36353 KachelY 51704 0.34370757 -1.24810202 19.692993 -71.510978
    Oben rechts KachelX + 1 36354 KachelY 51704 0.34380344 -1.24810202 19.698486 -71.510978
    Unten links KachelX 36353 KachelY + 1 51705 0.34370757 -1.24813242 19.692993 -71.512720
    Unten rechts KachelX + 1 36354 KachelY + 1 51705 0.34380344 -1.24813242 19.698486 -71.512720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24810202--1.24813242) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dl = 193.678399999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24810202--1.24813242) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dr = 193.678399999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34370757-0.34380344) × cos(-1.24810202) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317122947194593 × 6371000     		do = 193.694817732809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34370757-0.34380344) × cos(-1.24813242) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.31709411616124 × 6371000     		du = 193.67720809024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24810202)-sin(-1.24813242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317122947194593-0.31709411616124)×R²
    abs(0.34380344-0.34370757)×2.88310333527164e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.88310333527164e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.88310333527164e-05×40589641000000     		ar = 37512.7970860555m²