Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36352 / 51701
↖ ↑ ↗
← S 71.505751°
E 19.687500°		 ← 193.75 m → S 71.505751°
E 19.692993°		 →
↑
193.74 m
↓
↑
193.74 m
↓
S 71.507493°
E 19.687500°		 ← 193.73 m →
37 535 m²		 S 71.507493°
E 19.692993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554695129394531 y=0.788902282714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554695129394531 × 216)
    floor (0.554695129394531 × 65536)
    floor (36352.5)     		tx = 36352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788902282714844 × 216)
    floor (0.788902282714844 × 65536)
    floor (51701.5)     		ty = 51701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36352 / 51701 ti = "16/36352/51701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36352/51701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36352 ÷ 216
    36352 ÷ 65536     		x = 0.5546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51701 ÷ 216
    51701 ÷ 65536     		y = 0.788894653320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5546875 × 2 - 1) × π
    0.109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.34361170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788894653320312 × 2 - 1) × π
    -0.577789306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.81517864101305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34361170} λ = 0.34361170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81517864101305))-π/2
    2×atan(0.162808821459417)-π/2
    2×0.161392766259543-π/2
    0.322785532519086-1.57079632675     		φ = -1.24801079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34361170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24801079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.505751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36352 KachelY 51701 0.34361170 -1.24801079 19.687500 -71.505751
    Oben rechts KachelX + 1 36353 KachelY 51701 0.34370757 -1.24801079 19.692993 -71.505751
    Unten links KachelX 36352 KachelY + 1 51702 0.34361170 -1.24804120 19.687500 -71.507493
    Unten rechts KachelX + 1 36353 KachelY + 1 51702 0.34370757 -1.24804120 19.692993 -71.507493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24801079--1.24804120) × R
    3.04100000001473e-05 × 6371000     		dl = 193.742110000938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24801079--1.24804120) × R
    3.04100000001473e-05 × 6371000     		dr = 193.742110000938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34361170-0.34370757) × cos(-1.24801079) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317209466986775 × 6371000     		do = 193.747662963737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34361170-0.34370757) × cos(-1.24804120) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317180627349357 × 6371000     		du = 193.730048065911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24801079)-sin(-1.24804120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317209466986775-0.317180627349357)×R²
    abs(0.34370757-0.34361170)×2.88396374180655e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.88396374180655e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.88396374180655e-05×40589641000000     		ar = 37535.3746595806m²