Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3635 / 5405
↖ ↑ ↗
← S 49.752880°
W 20.258789°		 ← 3 157.09 m → S 49.752880°
W 20.214844°		 →
↑
3 156.13 m
↓
↑
3 156.13 m
↓
S 49.781264°
W 20.258789°		 ← 3 155.24 m →
9 961 279 m²		 S 49.781264°
W 20.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44378662109375 y=0.65985107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44378662109375 × 213)
    floor (0.44378662109375 × 8192)
    floor (3635.5)     		tx = 3635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65985107421875 × 213)
    floor (0.65985107421875 × 8192)
    floor (5405.5)     		ty = 5405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3635 / 5405 ti = "13/3635/5405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3635/5405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3635 ÷ 213
    3635 ÷ 8192     		x = 0.4437255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5405 ÷ 213
    5405 ÷ 8192     		y = 0.6597900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4437255859375 × 2 - 1) × π
    -0.112548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35358257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6597900390625 × 2 - 1) × π
    -0.319580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00399042564246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35358257} λ = -0.35358257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00399042564246))-π/2
    2×atan(0.366414370687559)-π/2
    2×0.351222379806548-π/2
    0.702444759613096-1.57079632675     		φ = -0.86835157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35358257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.258789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86835157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.752880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3635 KachelY 5405 -0.35358257 -0.86835157 -20.258789 -49.752880
    Oben rechts KachelX + 1 3636 KachelY 5405 -0.35281558 -0.86835157 -20.214844 -49.752880
    Unten links KachelX 3635 KachelY + 1 5406 -0.35358257 -0.86884696 -20.258789 -49.781264
    Unten rechts KachelX + 1 3636 KachelY + 1 5406 -0.35281558 -0.86884696 -20.214844 -49.781264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86835157--0.86884696) × R
    0.000495389999999984 × 6371000     		dl = 3156.1296899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86835157--0.86884696) × R
    0.000495389999999984 × 6371000     		dr = 3156.1296899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35358257--0.35281558) × cos(-0.86835157) × R
    0.000766989999999967 × 0.64608561331874 × 6371000     		do = 3157.09301424742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35358257--0.35281558) × cos(-0.86884696) × R
    0.000766989999999967 × 0.645707420233467 × 6371000     		du = 3155.24497627391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86835157)-sin(-0.86884696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64608561331874-0.645707420233467)×R²
    abs(-0.35281558--0.35358257)×0.000378193085272982×R²
    0.000766989999999967×0.000378193085272982×6371000²
    0.000766989999999967×0.000378193085272982×40589641000000     		ar = 9961278.87631709m²