Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36349 / 105067
↖ ↑ ↗
← S 72.902686°
W 80.164490°		 ← 89.79 m → S 72.902686°
W 80.161743°		 →
↑
89.83 m
↓
↑
89.83 m
↓
S 72.903494°
W 80.164490°		 ← 89.79 m →
8 066 m²		 S 72.903494°
W 80.161743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277324676513672 y=0.801601409912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277324676513672 × 217)
    floor (0.277324676513672 × 131072)
    floor (36349.5)     		tx = 36349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801601409912109 × 217)
    floor (0.801601409912109 × 131072)
    floor (105067.5)     		ty = 105067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36349 / 105067 ti = "17/36349/105067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36349/105067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36349 ÷ 217
    36349 ÷ 131072     		x = 0.277320861816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105067 ÷ 217
    105067 ÷ 131072     		y = 0.801597595214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277320861816406 × 2 - 1) × π
    -0.445358276367188 × 3.1415926535     		Λ = -1.39913429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801597595214844 × 2 - 1) × π
    -0.603195190429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.89499357888044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39913429} λ = -1.39913429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89499357888044))-π/2
    2×atan(0.150319300261501)-π/2
    2×0.149202207067144-π/2
    0.298404414134288-1.57079632675     		φ = -1.27239191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39913429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.164490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27239191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.902686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36349 KachelY 105067 -1.39913429 -1.27239191 -80.164490 -72.902686
    Oben rechts KachelX + 1 36350 KachelY 105067 -1.39908635 -1.27239191 -80.161743 -72.902686
    Unten links KachelX 36349 KachelY + 1 105068 -1.39913429 -1.27240601 -80.164490 -72.903494
    Unten rechts KachelX + 1 36350 KachelY + 1 105068 -1.39908635 -1.27240601 -80.161743 -72.903494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27239191--1.27240601) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dl = 89.8311000001075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27239191--1.27240601) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dr = 89.8311000001075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39913429--1.39908635) × cos(-1.27239191) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293995512270595 × 6371000     		do = 89.7937968918666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39913429--1.39908635) × cos(-1.27240601) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293982035365492 × 6371000     		du = 89.7896806981526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27239191)-sin(-1.27240601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293995512270595-0.293982035365492)×R²
    abs(-1.39908635--1.39913429)×1.34769051030048e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34769051030048e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34769051030048e-05×40589641000000     		ar = 8066.09066696583m²