Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36348 / 27659
↖ ↑ ↗
← N 27.005302°
E 19.665527°		 ← 544.25 m → N 27.005302°
E 19.671021°		 →
↑
544.21 m
↓
↑
544.21 m
↓
N 27.000408°
E 19.665527°		 ← 544.27 m →
296 192 m²		 N 27.000408°
E 19.671021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554634094238281 y=0.422050476074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554634094238281 × 216)
    floor (0.554634094238281 × 65536)
    floor (36348.5)     		tx = 36348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422050476074219 × 216)
    floor (0.422050476074219 × 65536)
    floor (27659.5)     		ty = 27659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36348 / 27659 ti = "16/36348/27659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36348/27659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36348 ÷ 216
    36348 ÷ 65536     		x = 0.55462646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27659 ÷ 216
    27659 ÷ 65536     		y = 0.422042846679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55462646484375 × 2 - 1) × π
    0.1092529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.34322820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422042846679688 × 2 - 1) × π
    0.155914306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.489819240317734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34322820} λ = 0.34322820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.489819240317734))-π/2
    2×atan(1.6320211896597)-π/2
    2×1.0210638839186-π/2
    2.04212776783721-1.57079632675     		φ = 0.47133144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34322820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.665527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47133144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.005302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36348 KachelY 27659 0.34322820 0.47133144 19.665527 27.005302
    Oben rechts KachelX + 1 36349 KachelY 27659 0.34332408 0.47133144 19.671021 27.005302
    Unten links KachelX 36348 KachelY + 1 27660 0.34322820 0.47124602 19.665527 27.000408
    Unten rechts KachelX + 1 36349 KachelY + 1 27660 0.34332408 0.47124602 19.671021 27.000408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47133144-0.47124602) × R
    8.54200000000027e-05 × 6371000     		dl = 544.210820000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47133144-0.47124602) × R
    8.54200000000027e-05 × 6371000     		dr = 544.210820000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34322820-0.34332408) × cos(0.47133144) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.890964507201769 × 6371000     		do = 544.246987851629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34322820-0.34332408) × cos(0.47124602) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.891003290862896 × 6371000     		du = 544.270678908429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47133144)-sin(0.47124602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890964507201769-0.891003290862896)×R²
    abs(0.34332408-0.34322820)×3.87836611273062e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.87836611273062e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.87836611273062e-05×40589641000000     		ar = 296191.546186145m²