Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36348 / 105068
↖ ↑ ↗
← S 72.903494°
W 80.167237°		 ← 89.79 m → S 72.903494°
W 80.164490°		 →
↑
89.77 m
↓
↑
89.77 m
↓
S 72.904301°
W 80.167237°		 ← 89.79 m →
8 060 m²		 S 72.904301°
W 80.164490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277317047119141 y=0.801609039306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277317047119141 × 217)
    floor (0.277317047119141 × 131072)
    floor (36348.5)     		tx = 36348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801609039306641 × 217)
    floor (0.801609039306641 × 131072)
    floor (105068.5)     		ty = 105068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36348 / 105068 ti = "17/36348/105068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36348/105068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36348 ÷ 217
    36348 ÷ 131072     		x = 0.277313232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105068 ÷ 217
    105068 ÷ 131072     		y = 0.801605224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277313232421875 × 2 - 1) × π
    -0.44537353515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39918223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801605224609375 × 2 - 1) × π
    -0.60321044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89504151578006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39918223} λ = -1.39918223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89504151578006))-π/2
    2×atan(0.150312094593003)-π/2
    2×0.149195160611955-π/2
    0.29839032122391-1.57079632675     		φ = -1.27240601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39918223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.167237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27240601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.903494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36348 KachelY 105068 -1.39918223 -1.27240601 -80.167237 -72.903494
    Oben rechts KachelX + 1 36349 KachelY 105068 -1.39913429 -1.27240601 -80.164490 -72.903494
    Unten links KachelX 36348 KachelY + 1 105069 -1.39918223 -1.27242010 -80.167237 -72.904301
    Unten rechts KachelX + 1 36349 KachelY + 1 105069 -1.39913429 -1.27242010 -80.164490 -72.904301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27240601--1.27242010) × R
    1.40899999998556e-05 × 6371000     		dl = 89.7673899990801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27240601--1.27242010) × R
    1.40899999998556e-05 × 6371000     		dr = 89.7673899990801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39918223--1.39913429) × cos(-1.27240601) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.293982035365492 × 6371000     		do = 89.7896806985685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39918223--1.39913429) × cos(-1.27242010) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.293968567960093 × 6371000     		du = 89.7855674063087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27240601)-sin(-1.27242010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293982035365492-0.293968567960093)×R²
    abs(-1.39913429--1.39918223)×1.34674053985373e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.34674053985373e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.34674053985373e-05×40589641000000     		ar = 8060.00066563651m²