Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36345 / 105147
↖ ↑ ↗
← S 72.967167°
W 80.175476°		 ← 89.47 m → S 72.967167°
W 80.172729°		 →
↑
89.45 m
↓
↑
89.45 m
↓
S 72.967971°
W 80.175476°		 ← 89.46 m →
8 002 m²		 S 72.967971°
W 80.172729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277294158935547 y=0.802211761474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277294158935547 × 217)
    floor (0.277294158935547 × 131072)
    floor (36345.5)     		tx = 36345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802211761474609 × 217)
    floor (0.802211761474609 × 131072)
    floor (105147.5)     		ty = 105147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36345 / 105147 ti = "17/36345/105147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36345/105147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36345 ÷ 217
    36345 ÷ 131072     		x = 0.277290344238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105147 ÷ 217
    105147 ÷ 131072     		y = 0.802207946777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277290344238281 × 2 - 1) × π
    -0.445419311523438 × 3.1415926535     		Λ = -1.39932604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802207946777344 × 2 - 1) × π
    -0.604415893554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.89882853085004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39932604} λ = -1.39932604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89882853085004))-π/2
    2×atan(0.14974393691544)-π/2
    2×0.148639509762662-π/2
    0.297279019525324-1.57079632675     		φ = -1.27351731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39932604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.175476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27351731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.967167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36345 KachelY 105147 -1.39932604 -1.27351731 -80.175476 -72.967167
    Oben rechts KachelX + 1 36346 KachelY 105147 -1.39927810 -1.27351731 -80.172729 -72.967167
    Unten links KachelX 36345 KachelY + 1 105148 -1.39932604 -1.27353135 -80.175476 -72.967971
    Unten rechts KachelX + 1 36346 KachelY + 1 105148 -1.39927810 -1.27353135 -80.172729 -72.967971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27351731--1.27353135) × R
    1.40400000001595e-05 × 6371000     		dl = 89.4488400010161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27351731--1.27353135) × R
    1.40400000001595e-05 × 6371000     		dr = 89.4488400010161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39932604--1.39927810) × cos(-1.27351731) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292919661348692 × 6371000     		do = 89.4652043279151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39932604--1.39927810) × cos(-1.27353135) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29290623715554 × 6371000     		du = 89.4611042337877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27351731)-sin(-1.27353135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292919661348692-0.29290623715554)×R²
    abs(-1.39927810--1.39932604)×1.3424193152034e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3424193152034e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3424193152034e-05×40589641000000     		ar = 8002.37537341479m²