Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36345 / 102803
↖ ↑ ↗
← S 70.976714°
W 80.175476°		 ← 99.55 m → S 70.976714°
W 80.172729°		 →
↑
99.52 m
↓
↑
99.52 m
↓
S 70.977609°
W 80.175476°		 ← 99.55 m →
9 907 m²		 S 70.977609°
W 80.172729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277294158935547 y=0.784328460693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277294158935547 × 217)
    floor (0.277294158935547 × 131072)
    floor (36345.5)     		tx = 36345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784328460693359 × 217)
    floor (0.784328460693359 × 131072)
    floor (102803.5)     		ty = 102803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36345 / 102803 ti = "17/36345/102803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36345/102803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36345 ÷ 217
    36345 ÷ 131072     		x = 0.277290344238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102803 ÷ 217
    102803 ÷ 131072     		y = 0.784324645996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277290344238281 × 2 - 1) × π
    -0.445419311523438 × 3.1415926535     		Λ = -1.39932604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784324645996094 × 2 - 1) × π
    -0.568649291992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.78646443814063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39932604} λ = -1.39932604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78646443814063))-π/2
    2×atan(0.167551512423405)-π/2
    2×0.16600948469259-π/2
    0.33201896938518-1.57079632675     		φ = -1.23877736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39932604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.175476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23877736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.976714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36345 KachelY 102803 -1.39932604 -1.23877736 -80.175476 -70.976714
    Oben rechts KachelX + 1 36346 KachelY 102803 -1.39927810 -1.23877736 -80.172729 -70.976714
    Unten links KachelX 36345 KachelY + 1 102804 -1.39932604 -1.23879298 -80.175476 -70.977609
    Unten rechts KachelX + 1 36346 KachelY + 1 102804 -1.39927810 -1.23879298 -80.172729 -70.977609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23877736--1.23879298) × R
    1.56199999998829e-05 × 6371000     		dl = 99.5150199992543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23877736--1.23879298) × R
    1.56199999998829e-05 × 6371000     		dr = 99.5150199992543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39932604--1.39927810) × cos(-1.23877736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325952394739167 × 6371000     		do = 99.554251367917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39932604--1.39927810) × cos(-1.23879298) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325937627767215 × 6371000     		du = 99.5497411545808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23877736)-sin(-1.23879298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325952394739167-0.325937627767215)×R²
    abs(-1.39927810--1.39932604)×1.47669719526289e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47669719526289e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47669719526289e-05×40589641000000     		ar = 9906.91889910536m²