Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36343 / 104603
↖ ↑ ↗
← S 72.524006°
W 80.180969°		 ← 91.72 m → S 72.524006°
W 80.178222°		 →
↑
91.74 m
↓
↑
91.74 m
↓
S 72.524831°
W 80.180969°		 ← 91.72 m →
8 415 m²		 S 72.524831°
W 80.178222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277278900146484 y=0.798061370849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277278900146484 × 217)
    floor (0.277278900146484 × 131072)
    floor (36343.5)     		tx = 36343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798061370849609 × 217)
    floor (0.798061370849609 × 131072)
    floor (104603.5)     		ty = 104603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36343 / 104603 ti = "17/36343/104603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36343/104603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36343 ÷ 217
    36343 ÷ 131072     		x = 0.277275085449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104603 ÷ 217
    104603 ÷ 131072     		y = 0.798057556152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277275085449219 × 2 - 1) × π
    -0.445449829101562 × 3.1415926535     		Λ = -1.39942191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798057556152344 × 2 - 1) × π
    -0.596115112304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.87275085745673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39942191} λ = -1.39942191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87275085745673))-π/2
    2×atan(0.153700272199998)-π/2
    2×0.152506816611626-π/2
    0.305013633223252-1.57079632675     		φ = -1.26578269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39942191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.180969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26578269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.524006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36343 KachelY 104603 -1.39942191 -1.26578269 -80.180969 -72.524006
    Oben rechts KachelX + 1 36344 KachelY 104603 -1.39937397 -1.26578269 -80.178222 -72.524006
    Unten links KachelX 36343 KachelY + 1 104604 -1.39942191 -1.26579709 -80.180969 -72.524831
    Unten rechts KachelX + 1 36344 KachelY + 1 104604 -1.39937397 -1.26579709 -80.178222 -72.524831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26578269--1.26579709) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dl = 91.7423999998088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26578269--1.26579709) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dr = 91.7423999998088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39942191--1.39937397) × cos(-1.26578269) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.300306182596594 × 6371000     		do = 91.7212380460798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39942191--1.39937397) × cos(-1.26579709) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.300292447228312 × 6371000     		du = 91.717042911058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26578269)-sin(-1.26579709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300306182596594-0.300292447228312)×R²
    abs(-1.39937397--1.39942191)×1.37353682824193e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.37353682824193e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.37353682824193e-05×40589641000000     		ar = 8414.53407368022m²