Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36341 / 102804
↖ ↑ ↗
← S 70.977609°
W 80.186462°		 ← 99.53 m → S 70.977609°
W 80.183716°		 →
↑
99.58 m
↓
↑
99.58 m
↓
S 70.978505°
W 80.186462°		 ← 99.52 m →
9 911 m²		 S 70.978505°
W 80.183716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277263641357422 y=0.784336090087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277263641357422 × 217)
    floor (0.277263641357422 × 131072)
    floor (36341.5)     		tx = 36341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784336090087891 × 217)
    floor (0.784336090087891 × 131072)
    floor (102804.5)     		ty = 102804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36341 / 102804 ti = "17/36341/102804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36341/102804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36341 ÷ 217
    36341 ÷ 131072     		x = 0.277259826660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102804 ÷ 217
    102804 ÷ 131072     		y = 0.784332275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277259826660156 × 2 - 1) × π
    -0.445480346679688 × 3.1415926535     		Λ = -1.39951778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784332275390625 × 2 - 1) × π
    -0.56866455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.78651237504025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39951778} λ = -1.39951778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78651237504025))-π/2
    2×atan(0.167543480715882)-π/2
    2×0.166001672295944-π/2
    0.332003344591888-1.57079632675     		φ = -1.23879298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39951778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.186462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23879298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.977609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36341 KachelY 102804 -1.39951778 -1.23879298 -80.186462 -70.977609
    Oben rechts KachelX + 1 36342 KachelY 102804 -1.39946985 -1.23879298 -80.183716 -70.977609
    Unten links KachelX 36341 KachelY + 1 102805 -1.39951778 -1.23880861 -80.186462 -70.978505
    Unten rechts KachelX + 1 36342 KachelY + 1 102805 -1.39946985 -1.23880861 -80.183716 -70.978505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23879298--1.23880861) × R
    1.56300000000442e-05 × 6371000     		dl = 99.5787300002817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23879298--1.23880861) × R
    1.56300000000442e-05 × 6371000     		dr = 99.5787300002817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39951778--1.39946985) × cos(-1.23879298) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.325937627767215 × 6371000     		do = 99.528975668442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39951778--1.39946985) × cos(-1.23880861) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.325922851261775 × 6371000     		du = 99.5244634847445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23879298)-sin(-1.23880861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325937627767215-0.325922851261775)×R²
    abs(-1.39946985--1.39951778)×1.47765054401283e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.47765054401283e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.47765054401283e-05×40589641000000     		ar = 9910.74433663878m²